Racines carrées d'un nombre complexe et équations à coefficients complexes - Exercice 2

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COMPETENCES‾  :  Calculer{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer}
Le discriminant permet aussi de résoudre une équation du second degré dont les coefficients sont des nombres complexes.
Question 1

Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation z2−(3+i)z+4+3i=0z^{2}-\left(3+i\right)z+4+3i=0 .

Correction
  • Soit az2+bz+c=0az^{2}+bz+c=0 une équation du second degré à coefficients complexes (a≠0a\ne 0) et Δ=b2−4ac\Delta =b^{2}-4ac . Si δ\delta est un nombre complexe tel que δ2=Δ\delta^{2}=\Delta , les solutions sont z1=−b−δ2az_{1}=\dfrac{-b-\delta}{2a} et z2=−b+δ2az_{2}=\dfrac{-b+\delta}{2a} (une seule solution si Δ=0\Delta =0).
    • Ici a=1a=1 , b=−(3+i)b=-\left(3+i\right) et c=4+3ic=4+3i .
    Δ=(3+i)2−4(4+3i)\Delta =\left(3+i\right)^{2}-4\left(4+3i\right) équivaut successivement à :
    Δ=9+6i+i2−16−12i\Delta =9+6i+i^{2}-16-12i
    Δ=−8−6i\Delta =-8-6i
    D'après l'exercice 1, δ=1−3i\delta =1-3i vérifie δ2=−8−6i\delta^{2}=-8-6i .
    z1=3+i−(1−3i)2=2+4i2z_{1}=\dfrac{3+i-\left(1-3i\right)}{2}=\dfrac{2+4i}{2} d'où
    z1=1+2iz_{1}=1+2i

    z2=3+i+1−3i2=4−2i2z_{2}=\dfrac{3+i+1-3i}{2}=\dfrac{4-2i}{2} d'où
    z2=2−iz_{2}=2-i

    Les solutions de l'équation sont donc : S={1+2i;2−i}S=\left\{1+2i;2-i\right\}
    Question 2

    Vérifier ce résultat à l'aide de la somme et du produit des solutions.

    Correction
  • Si un polynôme P(z)=az2+bz+cP\left(z\right)=az^{2}+bz+c admet deux racines complexes conjuguées z1z_{1} et z2z_{2}, alors la somme et le produit des racines sont égaux à :
    S=z1+z2=−ba{\color{red}S=z_{1}+z_{2}=-\frac{b}{a}} et P=z1×z2=ca{\color{blue}P=z_{1}\times z_{2}=\frac{c}{a}} .
    • D’une part :\red{\text{D'une part :}} z1+z2=1+2i+2−i=3+iz_{1}+z_{2}=1+2i+2-i=3+i et −ba=3+i-\dfrac{b}{a}=3+i .
    D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} z1z2=(1+2i)(2−i)=2−i+4i−2i2=4+3iz_{1}z_{2}=\left(1+2i\right)\left(2-i\right)=2-i+4i-2i^{2}=4+3i et ca=4+3i\dfrac{c}{a}=4+3i .
    Les deux relations sont vérifiées :
    z1+z2=3+iz_{1}+z_{2}=3+i et z1z2=4+3iz_{1}z_{2}=4+3i

    (Ces relations restent vraies pour des coefficients complexes, car az2+bz+c=a(z−z1)(z−z2)az^{2}+bz+c=a\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right) .)
    Question 3

    Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation z2+(1−3i)z−4−3i=0z^{2}+\left(1-3i\right)z-4-3i=0 .

    Correction
    Ici a=1a=1 , b=1−3ib=1-3i et c=−4−3ic=-4-3i .
    Δ=(1−3i)2−4(−4−3i)\Delta =\left(1-3i\right)^{2}-4\left(-4-3i\right) équivaut successivement à :
    Δ=1−6i+9i2+16+12i\Delta =1-6i+9i^{2}+16+12i
    Δ=8+6i\Delta =8+6i
    On cherche δ=x+iy\delta =x+iy tel que δ2=8+6i\delta^{2}=8+6i : x2−y2=8x^{2}-y^{2}=8 , 2xy=62xy=6 et x2+y2=∣8+6i∣=10x^{2}+y^{2}=\left|8+6i\right|=10 .
    Donc x2=9x^{2}=9 , y2=1y^{2}=1 et xy>0xy\gt 0 : on peut prendre δ=3+i\delta =3+i (vérification : (3+i)2=9+6i+i2=8+6i\left(3+i\right)^{2}=9+6i+i^{2}=8+6i).
    z1=−(1−3i)−(3+i)2=−4+2i2z_{1}=\dfrac{-\left(1-3i\right)-\left(3+i\right)}{2}=\dfrac{-4+2i}{2} d'où
    z1=−2+iz_{1}=-2+i

    z2=−(1−3i)+3+i2=2+4i2z_{2}=\dfrac{-\left(1-3i\right)+3+i}{2}=\dfrac{2+4i}{2} d'où
    z2=1+2iz_{2}=1+2i

    Les solutions de l'équation sont donc : S={−2+i;1+2i}S=\left\{-2+i;1+2i\right\}

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