Racines carrées d'un nombre complexe et équations à coefficients complexes - Exercice 1

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COMPETENCES‾  :  1°)  Calculer.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer.}     \;\; 2°)  Raisonner.{\color{red}2°)\;Raisonner.}
Soit ZZ un nombre complexe non nul. On cherche les nombres complexes ww tels que w2=Zw^{2}=Z (les racines carrées de ZZ). On pose w=x+iyw=x+iy avec xx et yy réels.
Question 1

Démontrer que w2=3+4iw^{2}=3+4i équivaut au système : x2−y2=3x^{2}-y^{2}=3 , 2xy=42xy=4 et x2+y2=5x^{2}+y^{2}=5 .

Correction
  • Si w=x+iyw=x+iy avec xx et yy réels, alors w2=x2−y2+2ixyw^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy et ∣w∣2=x2+y2\left|w\right|^{2}=x^{2}+y^{2} . De plus ∣w2∣=∣w∣2\left|w^{2}\right|=\left|w\right|^{2} .
    • w2=3+4iw^{2}=3+4i équivaut à x2−y2+2ixy=3+4ix^{2}-y^{2}+2ixy=3+4i , c'est-à-dire, en identifiant les parties réelles et imaginaires : x2−y2=3x^{2}-y^{2}=3 et 2xy=42xy=4 .
    De plus, si w2=3+4iw^{2}=3+4i , alors ∣w∣2=∣w2∣=∣3+4i∣=32+42=5\left|w\right|^{2}=\left|w^{2}\right|=\left|3+4i\right|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5 , donc x2+y2=5x^{2}+y^{2}=5 .
    Ainsi :
    w2=3+4iw^{2}=3+4i équivaut à {x2−y2=32xy=4x2+y2=5\left\{\begin{array}{ccc} {x^{2}-y^{2}} & {=} & {3} \\ {2xy} & {=} & {4} \\ {x^{2}+y^{2}} & {=} & {5} \end{array}\right.

    Question 2

    En déduire les deux racines carrées de 3+4i3+4i .

    Correction
    En ajoutant la première et la troisième équation : 2x2=82x^{2}=8 donc x2=4x^{2}=4 .
    En soustrayant la première à la troisième : 2y2=22y^{2}=2 donc y2=1y^{2}=1 .
    Donc x=2x=2 ou x=−2x=-2 , et y=1y=1 ou y=−1y=-1 . Comme 2xy=4>02xy=4\gt 0 , xx et yy ont le même signe.
    Les racines carrées de 3+4i3+4i sont donc :
    w1=2+iw_{1}=2+i et w2=−2−iw_{2}=-2-i

    Vérification : (2+i)2=4+4i+i2=3+4i\left(2+i\right)^{2}=4+4i+i^{2}=3+4i .
    Question 3

    Avec la même méthode, déterminer les racines carrées de −8−6i-8-6i .

    Correction
    w2=−8−6iw^{2}=-8-6i équivaut à x2−y2=−8x^{2}-y^{2}=-8 , 2xy=−62xy=-6 et x2+y2=∣−8−6i∣=64+36=10x^{2}+y^{2}=\left|-8-6i\right|=\sqrt{64+36}=10 .
    En ajoutant : 2x2=22x^{2}=2 donc x2=1x^{2}=1 . En soustrayant : 2y2=182y^{2}=18 donc y2=9y^{2}=9 .
    Comme 2xy=−6<02xy=-6\lt 0 , xx et yy sont de signes contraires.
    Les racines carrées de −8−6i-8-6i sont donc :
    1−3i1-3i et −1+3i-1+3i

    Vérification : (1−3i)2=1−6i+9i2=−8−6i\left(1-3i\right)^{2}=1-6i+9i^{2}=-8-6i .

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