La méthode de Cardan pour les équations de degré 3 - Exercice 2

30 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Calculer.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer.}     \;\; 2°)  Raisonner.{\color{red}2°)\;Raisonner.}
En 1572, Bombelli applique la même méthode à l'équation (F)\left(F\right) : z3−15z−4=0z^{3}-15z-4=0 , avec z=u+vz=u+v et uv=5uv=5 .
Question 1

Démontrer que u3+v3=4u^{3}+v^{3}=4 et u3v3=125u^{3}v^{3}=125 , puis que u3u^{3} et v3v^{3} sont les solutions de X2−4X+125=0X^{2}-4X+125=0 .

Correction
D'après l'exercice 1 : (u+v)3=u3+v3+3uv(u+v)\left(u+v\right)^{3}=u^{3}+v^{3}+3uv\left(u+v\right) , donc avec uv=5uv=5 : z3=u3+v3+15zz^{3}=u^{3}+v^{3}+15z .
Si zz est une solution de (F)\left(F\right) , z3−15z=4z^{3}-15z=4 , donc u3+v3=4u^{3}+v^{3}=4 . De plus u3v3=(uv)3=125u^{3}v^{3}=\left(uv\right)^{3}=125 .
Deux nombres de somme 44 et de produit 125125 sont les racines de :
X2−4X+125=0X^{2}-4X+125=0

Question 2

Résoudre l'équation X2−4X+125=0X^{2}-4X+125=0 .

Correction
Δ=(−4)2−4×1×125=16−500=−484\Delta =\left(-4\right)^{2}-4\times 1\times 125=16-500=-484 et 484=22\sqrt{484}=22 .
X1=4−22i2X_{1}=\dfrac{4-22i}{2} et X2=4+22i2X_{2}=\dfrac{4+22i}{2}
Ainsi :
u3=2+11iu^{3}=2+11i et v3=2−11iv^{3}=2-11i

Des nombres complexes apparaissent alors qu'on cherche une solution réelle : c'est en étudiant ce calcul que Bombelli a commencé à calculer avec les nombres complexes.
Question 3

Calculer (2+i)3\left(2+i\right)^{3} et (2−i)3\left(2-i\right)^{3} . En déduire une solution de (F)\left(F\right) .

Correction
(2+i)2=3+4i\left(2+i\right)^{2}=3+4i donc (2+i)3=(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i2=2+11i\left(2+i\right)^{3}=\left(3+4i\right)\left(2+i\right)=6+3i+8i+4i^{2}=2+11i .
De même (2−i)3=(2+i)3‾=2−11i\left(2-i\right)^{3}=\overline{\left(2+i\right)^{3}}=2-11i .
On prend u=2+iu=2+i et v=2−iv=2-i : on a bien uv=4+1=5uv=4+1=5 .
Donc z=u+v=2+i+2−iz=u+v=2+i+2-i d'où
z=4z=4

Vérification : 43−15×4−4=64−60−4=04^{3}-15\times 4-4=64-60-4=0 .
Question 4

Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation (F)\left(F\right) .

Correction
Comme 44 est une racine : z3−15z−4=(z−4)(z2+4z+1)z^{3}-15z-4=\left(z-4\right)\left(z^{2}+4z+1\right) (en développant : z3+4z2+z−4z2−16z−4=z3−15z−4z^{3}+4z^{2}+z-4z^{2}-16z-4=z^{3}-15z-4).
Pour z2+4z+1=0z^{2}+4z+1=0 : Δ=16−4=12\Delta =16-4=12 , donc z=−4±122=−2±3z=\dfrac{-4\pm \sqrt{12}}{2}=-2\pm \sqrt{3} .
Les solutions de (F)\left(F\right) sont donc :
S={4;−2−3;−2+3}S=\left\{4;-2-\sqrt{3};-2+\sqrt{3}\right\}

Les trois solutions sont réelles, et pourtant on les a trouvées en passant par 2±11i2\pm 11i .

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