La méthode de Cardan pour les équations de degré 3 - Exercice 1

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COMPETENCES‾  :  1°)  Calculer.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer.}     \;\; 2°)  Raisonner.{\color{red}2°)\;Raisonner.}
Au XVIe siècle, Tartaglia et Cardan trouvent une méthode pour résoudre les équations z3+pz+q=0z^{3}+pz+q=0 . On l'applique à l'équation (E)\left(E\right) : z3+6z−20=0z^{3}+6z-20=0 , en cherchant une solution de la forme z=u+vz=u+v avec uv=−2uv=-2 .
Question 1

Démontrer que (u+v)3=u3+v3+3uv(u+v)\left(u+v\right)^{3}=u^{3}+v^{3}+3uv\left(u+v\right) , puis que si z=u+vz=u+v est une solution de (E)\left(E\right) , alors u3+v3=20u^{3}+v^{3}=20 .

Correction
  • Pour tous nombres complexes uu et vv : (u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3\left(u+v\right)^{3}=u^{3}+3u^{2}v+3uv^{2}+v^{3} .
    • (u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3=u3+v3+3uv(u+v)\left(u+v\right)^{3}=u^{3}+3u^{2}v+3uv^{2}+v^{3}=u^{3}+v^{3}+3uv\left(u+v\right)
    Avec z=u+vz=u+v et uv=−2uv=-2 : z3=u3+v3−6zz^{3}=u^{3}+v^{3}-6z , c'est-à-dire z3+6z=u3+v3z^{3}+6z=u^{3}+v^{3} .
    Si zz est une solution de (E)\left(E\right) , alors z3+6z=20z^{3}+6z=20 .
    Ainsi :
    u3+v3=20u^{3}+v^{3}=20

    Question 2

    Démontrer que u3u^{3} et v3v^{3} sont les solutions de l'équation X2−20X−8=0X^{2}-20X-8=0 , puis les calculer.

    Correction
  • Si un polynôme P(z)=az2+bz+cP\left(z\right)=az^{2}+bz+c admet deux racines complexes conjuguées z1z_{1} et z2z_{2}, alors la somme et le produit des racines sont égaux à :
    S=z1+z2=−ba{\color{red}S=z_{1}+z_{2}=-\frac{b}{a}} et P=z1×z2=ca{\color{blue}P=z_{1}\times z_{2}=\frac{c}{a}} .
    • u3+v3=20u^{3}+v^{3}=20 et u3v3=(uv)3=(−2)3=−8u^{3}v^{3}=\left(uv\right)^{3}=\left(-2\right)^{3}=-8 .
    Deux nombres de somme 2020 et de produit −8-8 sont les racines de X2−20X−8X^{2}-20X-8 .
    Δ=(−20)2−4×1×(−8)=432=144×3\Delta =\left(-20\right)^{2}-4\times 1\times \left(-8\right)=432=144\times 3 , donc Δ=123\sqrt{\Delta }=12\sqrt{3} .
    X1=20−1232X_{1}=\dfrac{20-12\sqrt{3}}{2} et X2=20+1232X_{2}=\dfrac{20+12\sqrt{3}}{2}
    Ainsi :
    u3=10+63u^{3}=10+6\sqrt{3} et v3=10−63v^{3}=10-6\sqrt{3}

    Question 3

    Vérifier que (1+3)3=10+63\left(1+\sqrt{3}\right)^{3}=10+6\sqrt{3} et (1−3)3=10−63\left(1-\sqrt{3}\right)^{3}=10-6\sqrt{3} . En déduire une solution réelle de (E)\left(E\right) .

    Correction
    (1+3)3=1+33+3×3+33=10+63\left(1+\sqrt{3}\right)^{3}=1+3\sqrt{3}+3\times 3+3\sqrt{3}=10+6\sqrt{3}
    (1−3)3=1−33+3×3−33=10−63\left(1-\sqrt{3}\right)^{3}=1-3\sqrt{3}+3\times 3-3\sqrt{3}=10-6\sqrt{3}
    On prend u=1+3u=1+\sqrt{3} et v=1−3v=1-\sqrt{3} : on a bien uv=1−3=−2uv=1-3=-2 .
    Donc z=u+v=1+3+1−3z=u+v=1+\sqrt{3}+1-\sqrt{3} d'où
    z=2z=2

    Vérification : 23+6×2−20=8+12−20=02^{3}+6\times 2-20=8+12-20=0 .
    Question 4

    Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation (E)\left(E\right) .

    Correction
    Comme 22 est une racine, on factorise : z3+6z−20=(z−2)(z2+2z+10)z^{3}+6z-20=\left(z-2\right)\left(z^{2}+2z+10\right) (par identification, ou en développant : z3+2z2+10z−2z2−4z−20=z3+6z−20z^{3}+2z^{2}+10z-2z^{2}-4z-20=z^{3}+6z-20).
    Pour z2+2z+10=0z^{2}+2z+10=0 : Δ=4−40=−36\Delta =4-40=-36 , donc z=−2±i362=−1±3iz=\dfrac{-2\pm i\sqrt{36}}{2}=-1\pm 3i .
    Les solutions de (E)\left(E\right) sont donc :
    S={2;−1−3i;−1+3i}S=\left\{2;-1-3i;-1+3i\right\}

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