Factoriser une expression de la forme $z^{n}-a^{n}$ - Nombres complexes : équations polynomiales - Option mathématiques expertes

Question 1

Factoriser $z^{4} -16$

Correction

Soient ${\color{red}a}$ et ${\color{blue}b}$ deux nombres complexes, la forme factorisée de ${\color{red}a}^{4} -{\color{blue}b}^{4}$ est alors : ${\color{red}a}^{4} -{\color{blue}b}^{4} =\left({\color{red}a}-{\color{blue}b}\right)\left({\color{red}a}^{3} +{\color{red}a}^2{\color{blue}b}+{\color{red}a}{\color{blue}b}^2+{\color{blue}b}^{3} \right)$

Nous pouvons écrire que :

z^{4} -16=z^{4} -2^{4}

, ainsi :

{\color{red}z}^{4} -{\color{blue}2}^{4} =\left({\color{red}z}-{\color{blue}2}\right)\left({\color{red}z}^{3} +{\color{red}z}^2\times{\color{blue}2}+{\color{red}z}\times{\color{blue}2}^2+{\color{blue}2}^{3} \right)

Finalement :

z^{4} -2^{4}=\left(z-2\right)\left(z^{3}+2z^2+4z+8\right)

Question 2

Correction

Soient ${\color{red}a}$ et ${\color{blue}b}$ deux nombres complexes, la forme factorisée de ${\color{red}a}^{4} -{\color{blue}b}^{4}$ est alors : ${\color{red}a}^{4} -{\color{blue}b}^{4} =\left({\color{red}a}-{\color{blue}b}\right)\left({\color{red}a}^{3} +{\color{red}a}^2{\color{blue}b}+{\color{red}a}{\color{blue}b}^2+{\color{blue}b}^{3} \right)$

Nous pouvons écrire que :

z^{4} -81=z^{4} -3^{4}

, ainsi :

{\color{red}z}^{4} -{\color{blue}3}^{4} =\left({\color{red}z}-{\color{blue}3}\right)\left({\color{red}z}^{3} +{\color{red}z}^2\times{\color{blue}3}+{\color{red}z}\times{\color{blue}3}^2+{\color{blue}3}^{3} \right)

Finalement :

z^{4} -3^{4}=\left(z-3\right)\left(z^{3}+3z^2+9z+27\right)

Question 3

Correction

Soient ${\color{red}a}$ et ${\color{blue}b}$ deux nombres complexes, la forme factorisée de ${\color{red}a}^{4} -{\color{blue}b}^{4}$ est alors : ${\color{red}a}^{4} -{\color{blue}b}^{4} =\left({\color{red}a}-{\color{blue}b}\right)\left({\color{red}a}^{3} +{\color{red}a}^2{\color{blue}b}+{\color{red}a}{\color{blue}b}^2+{\color{blue}b}^{3} \right)$

Nous pouvons écrire que :

16z^{4} -625=\left(2z\right)^{4} -5^{4}

, ainsi :

\left({\color{red}2z}\right)^{4} -{\color{blue}5}^{4} =\left({\color{red}2z}-{\color{blue}5}\right)\left(\left({\color{red}2z}\right)^{3} +\left({\color{red}2z}\right)^2\times{\color{blue}5}+{\color{red}2z}\times{\color{blue}5}^2+{\color{blue}5}^{3} \right)

Finalement :

\left(2z\right)^{4} -5^{4}=\left(2z-5\right)\left(8z^{3}+20z^2+50z+125\right)