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Nombres complexes : équations polynomiales
Factoriser une expression de la forme
z
n
−
a
n
z^{n}-a^{n}
z
n
−
a
n
- Exercice 2
10 min
25
Question 1
Factoriser
z
4
−
16
z^{4} -16
z
4
−
16
Correction
Soient
a
{\color{red}a}
a
et
b
{\color{blue}b}
b
deux nombres complexes, la forme factorisée de
a
4
−
b
4
{\color{red}a}^{4} -{\color{blue}b}^{4}
a
4
−
b
4
est alors :
a
4
−
b
4
=
(
a
−
b
)
(
a
3
+
a
2
b
+
a
b
2
+
b
3
)
{\color{red}a}^{4} -{\color{blue}b}^{4} =\left({\color{red}a}-{\color{blue}b}\right)\left({\color{red}a}^{3} +{\color{red}a}^2{\color{blue}b}+{\color{red}a}{\color{blue}b}^2+{\color{blue}b}^{3} \right)
a
4
−
b
4
=
(
a
−
b
)
(
a
3
+
a
2
b
+
a
b
2
+
b
3
)
Nous pouvons écrire que :
z
4
−
16
=
z
4
−
2
4
z^{4} -16=z^{4} -2^{4}
z
4
−
16
=
z
4
−
2
4
, ainsi :
z
4
−
2
4
=
(
z
−
2
)
(
z
3
+
z
2
×
2
+
z
×
2
2
+
2
3
)
{\color{red}z}^{4} -{\color{blue}2}^{4} =\left({\color{red}z}-{\color{blue}2}\right)\left({\color{red}z}^{3} +{\color{red}z}^2\times{\color{blue}2}+{\color{red}z}\times{\color{blue}2}^2+{\color{blue}2}^{3} \right)
z
4
−
2
4
=
(
z
−
2
)
(
z
3
+
z
2
×
2
+
z
×
2
2
+
2
3
)
Finalement :
z
4
−
2
4
=
(
z
−
2
)
(
z
3
+
2
z
2
+
4
z
+
8
)
z^{4} -2^{4}=\left(z-2\right)\left(z^{3}+2z^2+4z+8\right)
z
4
−
2
4
=
(
z
−
2
)
(
z
3
+
2
z
2
+
4
z
+
8
)
Question 2
Factoriser
z
4
−
81
z^{4} -81
z
4
−
81
Correction
Soient
a
{\color{red}a}
a
et
b
{\color{blue}b}
b
deux nombres complexes, la forme factorisée de
a
4
−
b
4
{\color{red}a}^{4} -{\color{blue}b}^{4}
a
4
−
b
4
est alors :
a
4
−
b
4
=
(
a
−
b
)
(
a
3
+
a
2
b
+
a
b
2
+
b
3
)
{\color{red}a}^{4} -{\color{blue}b}^{4} =\left({\color{red}a}-{\color{blue}b}\right)\left({\color{red}a}^{3} +{\color{red}a}^2{\color{blue}b}+{\color{red}a}{\color{blue}b}^2+{\color{blue}b}^{3} \right)
a
4
−
b
4
=
(
a
−
b
)
(
a
3
+
a
2
b
+
a
b
2
+
b
3
)
Nous pouvons écrire que :
z
4
−
81
=
z
4
−
3
4
z^{4} -81=z^{4} -3^{4}
z
4
−
81
=
z
4
−
3
4
, ainsi :
z
4
−
3
4
=
(
z
−
3
)
(
z
3
+
z
2
×
3
+
z
×
3
2
+
3
3
)
{\color{red}z}^{4} -{\color{blue}3}^{4} =\left({\color{red}z}-{\color{blue}3}\right)\left({\color{red}z}^{3} +{\color{red}z}^2\times{\color{blue}3}+{\color{red}z}\times{\color{blue}3}^2+{\color{blue}3}^{3} \right)
z
4
−
3
4
=
(
z
−
3
)
(
z
3
+
z
2
×
3
+
z
×
3
2
+
3
3
)
Finalement :
z
4
−
3
4
=
(
z
−
3
)
(
z
3
+
3
z
2
+
9
z
+
27
)
z^{4} -3^{4}=\left(z-3\right)\left(z^{3}+3z^2+9z+27\right)
z
4
−
3
4
=
(
z
−
3
)
(
z
3
+
3
z
2
+
9
z
+
27
)
Question 3
Factoriser
16
z
4
−
625
16z^{4} -625
16
z
4
−
625
Correction
Soient
a
{\color{red}a}
a
et
b
{\color{blue}b}
b
deux nombres complexes, la forme factorisée de
a
4
−
b
4
{\color{red}a}^{4} -{\color{blue}b}^{4}
a
4
−
b
4
est alors :
a
4
−
b
4
=
(
a
−
b
)
(
a
3
+
a
2
b
+
a
b
2
+
b
3
)
{\color{red}a}^{4} -{\color{blue}b}^{4} =\left({\color{red}a}-{\color{blue}b}\right)\left({\color{red}a}^{3} +{\color{red}a}^2{\color{blue}b}+{\color{red}a}{\color{blue}b}^2+{\color{blue}b}^{3} \right)
a
4
−
b
4
=
(
a
−
b
)
(
a
3
+
a
2
b
+
a
b
2
+
b
3
)
Nous pouvons écrire que :
16
z
4
−
625
=
(
2
z
)
4
−
5
4
16z^{4} -625=\left(2z\right)^{4} -5^{4}
16
z
4
−
625
=
(
2
z
)
4
−
5
4
, ainsi :
(
2
z
)
4
−
5
4
=
(
2
z
−
5
)
(
(
2
z
)
3
+
(
2
z
)
2
×
5
+
2
z
×
5
2
+
5
3
)
\left({\color{red}2z}\right)^{4} -{\color{blue}5}^{4} =\left({\color{red}2z}-{\color{blue}5}\right)\left(\left({\color{red}2z}\right)^{3} +\left({\color{red}2z}\right)^2\times{\color{blue}5}+{\color{red}2z}\times{\color{blue}5}^2+{\color{blue}5}^{3} \right)
(
2
z
)
4
−
5
4
=
(
2
z
−
5
)
(
(
2
z
)
3
+
(
2
z
)
2
×
5
+
2
z
×
5
2
+
5
3
)
Finalement :
(
2
z
)
4
−
5
4
=
(
2
z
−
5
)
(
8
z
3
+
20
z
2
+
50
z
+
125
)
\left(2z\right)^{4} -5^{4}=\left(2z-5\right)\left(8z^{3}+20z^2+50z+125\right)
(
2
z
)
4
−
5
4
=
(
2
z
−
5
)
(
8
z
3
+
20
z
2
+
50
z
+
125
)