Nombres complexes : équations polynomiales

Factoriser une expression de la forme zn−anz^{n}-a^{n} - Exercice 1

10 min
25
Question 1

Factoriser z3−1  000z^{3} -1\;000

Correction
On remarque que z3−1000=z3−103z^{3} -1000=z^{3} -10^{3}.
Nous voulons donc factoriser z3−103z^{3} -10^{3} par z−10z-10 .
    Soient AA un nombre complexe et nn un entier naturel non nul .
Alors pour tout nombre complexe zz, on peut factoriser\red{\text{factoriser}} zn−Anz^{n} -A^{n} sous la forme : zn−An=(z−A)Q(z)z^{n} -A^{n}=\left(z-A\right)Q\left(z\right) où QQ est un polynôme de degreˊ au plus \blue{\text{de degré au plus }} n−1\blue{n-1} .
z3−103z^{3} -10^{3} est un polynôme de degré 33 et . On peut alors écrire que :
z3−103=(z−10)Q(z)z^{3} -10^{3}=\left(z-10\right)Q\left(z\right) où QQ est un polynôme de degreˊ au plus \blue{\text{de degré au plus }} 3−1\blue{3-1}
z3−103=(z−10)Q(z)z^{3} -10^{3}=\left(z-10\right)Q\left(z\right) où Q(z)=az2+bz+cQ\left(z\right)=az^{2}+bz+c
Ainsi :
z3−103=(z−10)(az2+bz+c)z^{3} -10^{3}=\left(z-10\right)\left(az^{2}+bz+c\right)
z3−103=az3+bz2+cz−10az2−10bz−10cz^{3} -10^{3} =az^{3} +bz^{2} +cz-10az^{2} -10bz-10c
z3−103=az3+(b−10a)z2+(c−10b)z−10cz^{3} -10^{3} =az^{3} +\left(b-10a\right)z^{2} +\left(c-10b\right)z-10c
Il faut que :
z3−103=az3+(b−10a)z2+(c−10b)−10cz^{3} {\color{red}-10^{3}}=az^{3} +\left(b-10a\right)z^{2} +\left(c-10b\right){\color{red}-10c}
  • Deux polynômes sont égaux si et seulement leurs coefficients respectifs sont égaux.
    • Par identification, on obtient le système suivant :
    {a=1b−10a=0c−10b=0−10c=−103\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b-10a} & {=} & {0} \\ {c-10b} & {=} & {0} \\ {-10c} & {=} & {-10^{3} } \end{array}\right.
    {a=1b−10a=0c−10b=0−10c=−1000\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b-10a} & {=} & {0} \\ {c-10b} & {=} & {0} \\ {-10c} & {=} & {-1000} \end{array}\right.
    {a=1b−10a=0c−10b=0c=−1000−10\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b-10a} & {=} & {0} \\ {c-10b} & {=} & {0} \\ {c} & {=} & {\frac{-1000}{-10} } \end{array}\right.
    {a=1b−10a=0c−10b=0c=100\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b-10a} & {=} & {0} \\ {c-10b} & {=} & {0} \\ {c} & {=} & {100} \end{array}\right.
    {a=1b−10a=0100−10b=0c=100\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b-10a} & {=} & {0} \\ {100-10b} & {=} & {0} \\ {c} & {=} & {100} \end{array}\right.
    {a=1b−10a=0−10b=−100c=100\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b-10a} & {=} & {0} \\ {-10b} & {=} & {-100} \\ {c} & {=} & {100} \end{array}\right.
    {a=1b−10a=0b=−100−10c=100\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b-10a} & {=} & {0} \\ {b} & {=} & {\frac{-100}{-10} } \\ {c} & {=} & {100} \end{array}\right.
    {a=1b−10a=0b=10c=100\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b-10a} & {=} & {0} \\ {b} & {=} & {10} \\ {c} & {=} & {100} \end{array}\right.
    {a=110−10a=0b=10c=100\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {10-10a} & {=} & {0} \\ {b} & {=} & {10} \\ {c} & {=} & {100} \end{array}\right.
    {a=1−10a=−10b=10c=100\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {-10a} & {=} & {-10} \\ {b} & {=} & {10} \\ {c} & {=} & {100} \end{array}\right.
    {a=1a=−10−10b=10c=100\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {a} & {=} & {\frac{-10}{-10} } \\ {b} & {=} & {10} \\ {c} & {=} & {100} \end{array}\right.
    {a=1a=1b=10c=100\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {a} & {=} & {1} \\ {b} & {=} & {10} \\ {c} & {=} & {100} \end{array}\right.
    Finalement, la forme factorisée de z3−1000z^{3} -1000 est : (z−10)(z2+10z+100)\left(z-10\right)\left(z^{2}+10z+100\right)
    Il existe une deuxieˋme meˊthode que nous allons vous proposer ci-dessous :\red{\text{Il existe une deuxième méthode que nous allons vous proposer ci-dessous :}}
      Il y a donc une méthode plus rapide. Jai20enmaths vous l'a propose mais il est important que votre professeur valide la démarche aussi bien en partiel que pour l'épreuve du baccalauréat.
    Soient a{\color{red}a} et b{\color{blue}b} deux nombres complexes, la forme factorisée de a3−b3{\color{red}a}^{3} -{\color{blue}b}^{3} est alors : a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2){\color{red}a}^{3} -{\color{blue}b}^{3} =\left({\color{red}a}-{\color{blue}b}\right)\left({\color{red}a}^{2} +{\color{red}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^{2} \right)
    Nous avons vu que z3−1000=z3−103z^{3} -1000=z^{3} -10^{3}, ainsi :
    z3−103=(z−10)(z2+z×10+102){\color{red}z}^{3} -{\color{blue}10}^{3} =\left({\color{red}z}-{\color{blue}10}\right)\left({\color{red}z}^{2} +{\color{red}z}\times{\color{blue}10}+{\color{blue}10}^{2} \right)
    Finalement :
    z3−103=(z−10)(z2+10z+100)z^{3} -10^{3}=\left(z-10\right)\left(z^{2}+10z+100\right)
    Question 2

    Factoriser z3−1z^{3} -1

    Correction
    On remarque que z3−1=z3−13z^{3} -1=z^{3} -1^{3}.
    Nous voulons donc factoriser z3−13z^{3} -1^{3} par z−1z-1 .
      Soient AA un nombre complexe et nn un entier naturel non nul .
    Alors pour tout nombre complexe zz, on peut factoriser\red{\text{factoriser}} zn−Anz^{n} -A^{n} sous la forme : zn−An=(z−A)Q(z)z^{n} -A^{n}=\left(z-A\right)Q\left(z\right) où QQ est un polynôme de degreˊ au plus \blue{\text{de degré au plus }} n−1\blue{n-1} .
    z3−13z^{3} -1^{3} est un polynôme de degré 33 et . On peut alors écrire que :
    z3−13=(z−1)Q(z)z^{3} -1^{3}=\left(z-1\right)Q\left(z\right) où QQ est un polynôme de degreˊ au plus \blue{\text{de degré au plus }} 3−1\blue{3-1}
    z3−13=(z−1)Q(z)z^{3} -1^{3}=\left(z-1\right)Q\left(z\right) où Q(z)=az2+bz+cQ\left(z\right)=az^{2}+bz+c
    Ainsi :
    z3−13=(z−1)(az2+bz+c)z^{3} -1^{3}=\left(z-1\right)\left(az^{2}+bz+c\right)
    z3−13=az3+bz2+cz−az2−bz−cz^{3} -1^{3} =az^{3} +bz^{2} +cz-az^{2} -bz-c
    z3−13=az3+(b−a)z2+(c−b)z−cz^{3} -1^{3} =az^{3} +\left(b-a\right)z^{2} +\left(c-b\right)z-c
    Il faut que :
    z3−13=az3+(b−a)z2+(c−b)−cz^{3} {\color{red}-1^{3}}=az^{3} +\left(b-a\right)z^{2} +\left(c-b\right){\color{red}-c}
  • Deux polynômes sont égaux si et seulement leurs coefficients respectifs sont égaux.
    • Par identification, on obtient le système suivant :
    {a=1b−a=0c−b=0−c=−13\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b-a} & {=} & {0} \\ {c-b} & {=} & {0} \\ {-c} & {=} & {-1^{3} } \end{array}\right.
    {a=1b−a=0c−b=0−c=−1\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b-a} & {=} & {0} \\ {c-b} & {=} & {0} \\ {-c} & {=} & {-1} \end{array}\right.
    {a=1b−a=0c−b=0c=1\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b-a} & {=} & {0} \\ {c-b} & {=} & {0} \\ {c} & {=} & {1} \end{array}\right.
    {a=1b−a=01−b=0c=1\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b-a} & {=} & {0} \\ {1-b} & {=} & {0} \\ {c} & {=} & {1} \end{array}\right.
    {a=1b−a=0−b=−1c=1\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b-a} & {=} & {0} \\ {-b} & {=} & {-1} \\ {c} & {=} & {1} \end{array}\right.
    {a=1b−a=0b=1c=1\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b-a} & {=} & {0} \\ {b} & {=} & {1} \\ {c} & {=} & {1} \end{array}\right.
    {a=11−a=0b=1c=1\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {1-a} & {=} & {0} \\ {b} & {=} & {1} \\ {c} & {=} & {1} \end{array}\right.
    {a=1−a=−1b=1c=1\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {-a} & {=} & {-1} \\ {b} & {=} & {1} \\ {c} & {=} & {1} \end{array}\right.
    {a=1a=1b=1c=1\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {a} & {=} & {1} \\ {b} & {=} & {1} \\ {c} & {=} & {1} \end{array}\right.
    Finalement, la forme factorisée de z3−1z^{3} -1 est : (z−1)(z2+z+1)\left(z-1\right)\left(z^{2}+z+1\right)
    Il existe une deuxieˋme meˊthode que nous allons vous proposer ci-dessous :\red{\text{Il existe une deuxième méthode que nous allons vous proposer ci-dessous :}}
      Il y a donc une méthode plus rapide. Jai20enmaths vous l'a propose mais il est important que votre professeur valide la démarche aussi bien en partiel que pour l'épreuve du baccalauréat.
    Soient a{\color{red}a} et b{\color{blue}b} deux nombres complexes, la forme factorisée de a3−b3{\color{red}a}^{3} -{\color{blue}b}^{3} est alors : a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2){\color{red}a}^{3} -{\color{blue}b}^{3} =\left({\color{red}a}-{\color{blue}b}\right)\left({\color{red}a}^{2} +{\color{red}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^{2} \right)
    Nous avons vu que z3−1=z3−13z^{3} -1=z^{3} -1^{3}, ainsi :
    z3−13=(z−1)(z2+z×1+12){\color{red}z}^{3} -{\color{blue}1}^{3} =\left({\color{red}z}-{\color{blue}1}\right)\left({\color{red}z}^{2} +{\color{red}z}\times{\color{blue}1}+{\color{blue}1}^{2} \right)
    Finalement :
    z3−13=(z−1)(z2+z+1)z^{3} -1^{3}=\left(z-1\right)\left(z^{2}+z+1\right)