Exercices types : Résolution d'équation - Exercice 6

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On considère les points AA, BB, CC et DD d'affixes respectifs zA=−3+iz_{A} =-3+i, zB=−1−2iz_{B} =-1-2i, zC=6z_{C} =6 et zD=4+3iz_{D} =4+3i.
Question 1

Déterminer les affixes des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et DC→\overrightarrow{DC} .

Correction
On note zAB→z_{\overrightarrow{AB} } l'affixe de AB→\overrightarrow{AB} et zDC→z_{\overrightarrow{DC} } l'affixe de DC→\overrightarrow{DC}
zAB→=zB−zAz_{\overrightarrow{AB} } =z_{B} -z_{A}
ainsi zAB→=−1−2i−(−3+i)z_{\overrightarrow{AB} } =-1-2i-\left(-3+i\right)
d'où
zAB→=2−3iz_{\overrightarrow{AB} } =2-3i

zDC→=zC−zDz_{\overrightarrow{DC} } =z_{C} -z_{D}
ainsi zDC→=6−(4+3i)z_{\overrightarrow{DC} } =6-\left(4+3i\right)
d'où
zDC→=2−3iz_{\overrightarrow{DC} } =2-3i
Question 2

Quelle est la nature du quadrilatère ABCDABCD ?

Correction
Comme zAB→=zDC→z_{\overrightarrow{AB} } =z_{\overrightarrow{DC} } le quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme.
Question 3

Déterminer l'affixe du point EE tel que CEDBCEDB soit un parallélogramme.

Correction
Soit zEz_{E} l'affixe du point EE.
CEDBCEDB est un parallélogramme si et seulement si zCE→=zDB→z_{\overrightarrow{CE} } =z_{\overrightarrow{DB} }
zCE→=zE−zCz_{\overrightarrow{CE} } =z_{E} -z_{C} ainsi zCE→=zE−6z_{\overrightarrow{CE} } =z_{E} -6
zDB→=zB−zDz_{\overrightarrow{DB} } =z_{B} -z_{D} ainsi zDB→=−5−5iz_{\overrightarrow{DB} } =-5-5i
Ainsi zE−6=−5−5i⇔z_{E} -6=-5-5i\Leftrightarrow
zE=1−5iz_{E} =1-5i

Question 4

Que représente le point BB pour le segment [AE]\left[AE\right] ?

Correction
On conjecture sur le dessin que le point BB est le milieu du segment [AE]\left[AE\right]. Vérifions cette conjecture. Pour cela calculons les coordonnés du milieu du segment [AE]\left[AE\right] .
Ainsi : zA+zE2\frac{z_{A} +z_{E} }{2} avec zE=1−5iz_{E} =1-5i et zA=−3+iz_{A} =-3+i
D'où :
zA+zE2=1−5i+(−3+i)2\frac{z_{A} +z_{E} }{2}=\frac{1-5i+\left(-3+i\right) }{2}
zA+zE2=1−5i−3+i2\frac{z_{A} +z_{E} }{2}=\frac{1-5i-3+i }{2}
zA+zE2=−2−4i2\frac{z_{A} +z_{E} }{2}=\frac{-2-4i }{2}
zA+zE2=−1−2i=zB\frac{z_{A} +z_{E} }{2}=-1-2i=z_{B}
Ainsi :
zB=zA+zE2z_{B} =\frac{z_{A} +z_{E} }{2}

Donc le point BB est bien le milieu segment [AE]\left[AE\right] . Notre conjecture est validée.

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