Exercices types : Résolution d'équation - Exercice 6

On note $$z_{\overrightarrow{AB} }$$ l'affixe de $$\overrightarrow{AB}$$ et $$z_{\overrightarrow{DC} }$$ l'affixe de $$\overrightarrow{DC}$$
$$z_{\overrightarrow{AB} } =z_{B} -z_{A}$$
ainsi $$z_{\overrightarrow{AB} } =-1-2i-\left(-3+i\right)$$
d'où
$$z_{\overrightarrow{DC} } =z_{C} -z_{D}$$
ainsi $$z_{\overrightarrow{DC} } =6-\left(4+3i\right)$$
d'où

Comme $$z_{\overrightarrow{AB} } =z_{\overrightarrow{DC} }$$ le quadrilatère $$ABCD$$ est un parallélogramme.

Soit $$z_{E}$$ l'affixe du point $$E$$.
$$CEDB$$ est un parallélogramme si et seulement si $$z_{\overrightarrow{CE} } =z_{\overrightarrow{DB} }$$
$$z_{\overrightarrow{CE} } =z_{E} -z_{C}$$ ainsi $$z_{\overrightarrow{CE} } =z_{E} -6$$
$$z_{\overrightarrow{DB} } =z_{B} -z_{D}$$ ainsi $$z_{\overrightarrow{DB} } =-5-5i$$
Ainsi $$z_{E} -6=-5-5i\Leftrightarrow$$

On conjecture sur le dessin que le point $$B$$ est le milieu du segment $$\left[AE\right]$$. Vérifions cette conjecture. Pour cela calculons les coordonnés du milieu du segment $$\left[AE\right]$$ .
Ainsi : $$\frac{z_{A} +z_{E} }{2}$$ avec $$z_{E} =1-5i$$ et $$z_{A} =-3+i$$
D'où :
$$\frac{z_{A} +z_{E} }{2}=\frac{1-5i+\left(-3+i\right) }{2}$$
$$\frac{z_{A} +z_{E} }{2}=\frac{1-5i-3+i }{2}$$
$$\frac{z_{A} +z_{E} }{2}=\frac{-2-4i }{2}$$
$$\frac{z_{A} +z_{E} }{2}=-1-2i=z_{B}$$
Ainsi :
Donc le point $$B$$ est bien le milieu segment $$\left[AE\right]$$ . Notre conjecture est validée.