Nombres complexes : équations polynomiales

Exercices types : Résolution d'équation - Exercice 5

20 min
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Pour tout nombre complexe zz, on note : P(z)=z3−3z2+3z+7P\left(z\right)=z^{3}-3z^{2}+3z+7 .
Question 1

Calculer P(−1)P\left(-1\right) .

Correction
P(−1)=(−1)3−3×(−1)2+3×(−1)+7P\left(-1\right)=\left(-1\right)^{3}-3\times\left(-1\right)^{2}+3\times\left(-1\right)+7
P(−1)=−1−3×1+3×(−1)+7P\left(-1\right)=-1-3\times1+3\times\left(-1\right)+7
P(−1)=−1−3−3+7P\left(-1\right)=-1-3-3+7
P(−1)=0P\left(-1\right)=0
Question 2

Déterminer les réels aa et bb tels que, pour tout nombre complexe zz, on ait : P(z)=(z+1)(z2+az+b)P\left(z\right)=\left(z+1\right)\left(z^{2}+az+b\right).

Correction
P(z)=(z+1)(z2+az+b)P\left(z\right)=\left(z+1\right)\left(z^{2}+az+b\right) équivaut successivement à :
P(z)=z3+az2+bz+z2+az+bP\left(z\right)=z^{3} +az^{2} +bz+z^{2} +az+b
P(z)=z3+z2(a+1)+z(b+a)+bP\left(z\right)=z^{3} +z^{2} \left({\color{blue}a+1}\right)+z\left({\color{red}b+a}\right)+{\color{purple}b}
Or nous voulons que : z3−3z2+3z+7=(z+1)(z2+az+b)z^{3}{\color{blue}-3}z^{2}+{\color{red}3}z+{\color{purple}7}=\left(z+1\right)\left(z^{2}+az+b\right)
Par identification, on obtient le système suivant :
{a+1=−3b+a=3b=7\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{blue}a+1}} & {=} & {{\color{blue}-3}} \\ {{\color{red}b+a}} & {=} & {{\color{red}3}} \\ {{\color{purple}b}} & {=} & {{\color{purple}7}} \end{array}\right.
Finalement :
{a=−4a=−4b=7\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-4} \\ {a} & {=} & {-4} \\ {b} & {=} & {7} \end{array}\right.
Il en résulte donc que :
P(z)=(z+1)(z2−4z+7)P\left(z\right)=\left(z+1\right)\left(z^{2}-4z+7\right)
.
Question 3

Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation P(z)=0P\left(z\right)=0

Correction
z3−3z2+3z+7=0z^{3}-3z^{2}+3z+7=0 équivaut successivement à :
(z+1)(z2−4z+7)=0\left(z+1\right)\left(z^{2}-4z+7\right)=0
Il s'agit d'une équation produit nul.
z+1=0z+1=0 ou z2−4z+7=0z^{2} -4z+7=0
  • Calculons d’une part :\red{\text{Calculons d'une part :}} z+1=0z+1=0 ce qui donne
    z=−1z=-1
  • Calculons d’autre part :\red{\text{Calculons d'autre part :}} z2−4z+7=0z^{2} -4z+7=0 . Il s'agit d'une équation du second degré.

    • Lorsque nous devons résoudre une équation qui fait intervenir du z2z^{2} , on utilisera le discriminant.
  • Pour les cas Δ>0\Delta >0 et Δ=0\Delta =0, on effectuera la même démarche vue en classe de première.
  • Cependant pour Δ<0\Delta <0, il y aura deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que
    z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a}

    et
    z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    • Δ=−12\Delta =-12, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    z1=4−i122z_{1} =\frac{4-i\sqrt{12} }{2} d'où
    z1=2−i3z_{1} =2 -i\sqrt{3}

    z2=4+i122z_{2} =\frac{4+i\sqrt{12} }{2} d'où
    z2=2+i3z_{2} =2 +i\sqrt{3}

    Finalement, les solutions de l'équation P(z)=0P\left(z\right)=0 sont :
    S={−1;2−i3;2+i3}S=\left\{-1;2 -i\sqrt{3};2 +i\sqrt{3}\right\}