Nombres complexes : équations polynomiales

Exercices types : Résolution d'équation - Exercice 3

20 min
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Question 1

Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation z2+2z+6=0z^{2}+2z+6=0.

Correction

Lorsque nous devons résoudre une équation qui fait intervenir du z2z^{2} , on utilisera le discriminant.
  • Pour les cas Δ>0\Delta >0 et Δ=0\Delta =0, on effectuera la même démarche vue en classe de première.
  • Cependant pour Δ<0\Delta <0, il y aura deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que
    z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a}

    et
    z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    • Δ=−20\Delta =-20, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
    z1=−2−i202z_{1} =\frac{-2-i\sqrt{20} }{2} d'où
    z1=−1−i5z_{1} =-1 -i\sqrt{5}

    z2=−2+i202z_{2} =\frac{-2+i\sqrt{20} }{2} d'où
    z2=−1+i5z_{2} =-1 +i\sqrt{5}

    Donc S={−1−i5;−1+i5}S=\left\{-1 -i\sqrt{5} ;-1 +i\sqrt{5} \right\}
    Question 2
    On considère l'équation z3+3z2+8z+6=0z^{3}+3z^{2}+8z+6=0.

    Montrer que −1-1 est solution de cette équation.

    Correction
    (−1)3+3(−1)2+8(−1)+6=−1+3−8+6\left(-1\right)^{3}+3\left(-1\right)^{2}+8\left(-1\right)+6=-1+3-8+6
    (−1)3+3(−1)2+8(−1)+6=0\left(-1\right)^{3}+3\left(-1\right)^{2}+8\left(-1\right)+6=0
    −1-1 est solution de l'équation
    z3+3z2+8z+6=0z^{3}+3z^{2}+8z+6=0
    .
    Question 3

    Trouver des réels aa et bb tels que z3+3z2+8z+6=(z+1)(z2+az+b)z^{3}+3z^{2}+8z+6=\left(z+1\right)\left(z^{2}+az+b\right).

    Correction
    (z+1)(z2+az+b)=z3+az2+bz+z2+az+b\left(z+1\right)\left(z^{2} +az+b\right)=z^{3} +az^{2} +bz+z^{2} +az+b
    (z+1)(z2+az+b)=z3+z2(a+1)+z(b+a)+b\left(z+1\right)\left(z^{2} +az+b\right)=z^{3} +z^{2} \left({\color{blue}a+1}\right)+z\left({\color{red}b+a}\right)+{\color{purple}b}
    Or nous voulons que : z3+3z2+8z+6=(z+1)(z2+az+b)z^{3}+{\color{blue}3}z^{2}+{\color{red}8}z+{\color{purple}6}=\left(z+1\right)\left(z^{2}+az+b\right)
    Par identification, on obtient le système suivant :
    {a+1=3b+a=8b=6\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{blue}a+1}} & {=} & {{\color{blue}3}} \\ {{\color{red}b+a}} & {=} & {{\color{red}8}} \\ {{\color{purple}b}} & {=} & {{\color{purple}6}} \end{array}\right.
    Finalement :
    {a=2b=6b=6\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {6} \\ {b} & {=} & {6} \end{array}\right.
    Il en résulte donc que :
    z3+3z2+8z+6=(z+1)(z2+2z+6)z^{3}+3z^{2}+8z+6=\left(z+1\right)\left(z^{2}+2z+6\right)
    .
    Question 4

    Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation z3+3z2+8z+6=0z^{3}+3z^{2}+8z+6=0

    Correction
    z3+3z2+8z+6=0z^{3}+3z^{2}+8z+6=0 équivaut successivement à :
    (z+1)(z2+2z+6)=0\left(z+1\right)\left(z^{2}+2z+6\right)=0
    Il s'agit d'une équation produit nul.
    z+1=0z+1=0 ou z2+2z+6=0z^{2} +2z+6=0
     Calculons d’une part :\red{\text{ Calculons d'une part :}} z+1=0z+1=0 ce qui donne z=−1z=-1
     Calculons d’autre part :\red{\text{ Calculons d'autre part :}} z2+2z+6=0z^{2}+2z+6=0 . Les solutions de cette équation sont données à la question 11.
    Finalement, les solutions de l'équation z3+3z2+8z+6=0z^{3}+3z^{2}+8z+6=0 sont :
    S={−1;−1−i5;−1+i5}S=\left\{-1;-1 -i\sqrt{5};-1 +i\sqrt{5}\right\}