Exercices types : Résolution d'équation - Exercice 2

Il vient alors :
$$3\left(x-iy\right)-2i\left(x+iy\right)=5-3i$$
$$3x-3iy-2ix+2y=5-3i$$
$$3x+2y+i\left(-3y-2x\right)=5-3i$$ .
Par identification, on obtient le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3x+2y} & {=} & {5} \\ {-2x-3y} & {=} & {-3} \end{array}\right.$$
On utilise la méthode par combinaison :
$$\begin{array}{c} {\times 2} \\ {\times 3} \end{array}\left\{\begin{array}{ccc} {3x+2y} & {=} & {5} \\ {-2x-3y} & {=} & {-3} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {6x+4y} & {=} & {10} \\ {-6x-9y} & {=} & {-9} \end{array}\right.$$
Maintenant on additionne les deux lignes :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {6x+4y} & {=} & {10} \\ {-5y} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {6x+4y} & {=} & {10} \\ {y} & {=} & {\frac{-1}{5} } \end{array}\right.$$
Et enfin on remplace dans la première ligne $$6x+4y=10$$ c'est à dire $$6x+4\times\left(-\frac{1}{5}\right)=10$$ pour obtenir $$x=\frac{9}{5}$$
La solution de l'équation est alors :

$$\left(2-3i\right)z+3-2i=2iz+4+10i$$
$$\left(2-3i\right)z-2iz=4+10i-3+2i$$
Ici on factorise par $$z$$ le membre de gauche
$$\left(2-3i-2i\right)z=1+12i$$
$$\left(2-5i\right)z=1+12i$$
$$z=\frac{1+12i}{2-5i}$$
$$z=\frac{\left(1+12i\right)\left(2+5i\right)}{\left(2-5i\right)\left(2+5i\right)}$$
$$z=\frac{2+5i+24i+60i^{2} }{2^{2} +5^{2} }$$
$$z=\frac{2+5i+24i-60}{29}$$
$$z=\frac{-58+29i}{29}$$
$$z=\frac{-58}{29} +\frac{29i}{29}$$
Ainsi :
La solution de l'équation est alors :

$$\Delta =-36$$, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées $$z_{1}$$ et $$z_{2}$$ tels que $$z_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a}$$ et $$z_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}$$
d'où $$z_{1} =\frac{2-i\sqrt{36} }{2}$$ c'est à dire :
d'où $$z_{2} =\frac{2+i\sqrt{36} }{2}$$ c'est à dire :
Donc $$S=\left\{1-3i ;1+3i \right\}$$

$$2i\overline{z}-4=5i+4z$$ équivaut successivement à :
$$2i\times \left(x-iy\right)-4=5i+4\times \left(x+iy\right)$$
$$2ix-2i^{2} y-4=5i+4x+4iy$$
$$2ix-2\times \left(-1\right)y-4=5i+4x+4iy$$
$$2ix+2y-4=5i+4x+4iy$$
$$2ix+2y-4-5i-4x-4iy=0$$
$$\left(2y-4-4x\right)+i\left(2x-5-4y\right)=0$$
Par identification, on obtient le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {-4x+2y-4} & {=} & {0} \\ {2x-4y-5} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
On utilise la méthode par combinaison :
$$\begin{array}{c} {\times 1} \\ {\times 2} \end{array}\left\{\begin{array}{ccc} {-4x+2y-4} & {=} & {0} \\ {2x-4y-5} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {-4x+2y-4} & {=} & {0} \\ {4x-8y-10} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
Maintenant on additionne les deux lignes :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {-4x+2y-4} & {=} & {0} \\ {-6y-14} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {-4x+2y-4} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {\frac{14}{-6} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {-4x+2y-4} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {-\frac{7}{3} } \end{array}\right.$$
Et enfin on remplace dans la première ligne $$-4x+2y-4=0$$ c'est à dire $$-4x+2\times\left(-\frac{7}{3}\right)-4=0$$ pour obtenir $$x=-\frac{13}{6}$$
La solution de l'équation est alors :