Exercices types : Résolution d'équation - Exercice 2

20 min
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Résoudre dans C\mathbb{C} les équations suivantes.
On donnera les solutions sous forme algébrique.
Question 1

3z‾−2iz=5−3i3\overline{z}-2iz=5-3i

Correction
Dans le cas où nous avons une équation avec du zz et du z‾\overline{z}, il faut poser z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy
Il vient alors :
3(x−iy)−2i(x+iy)=5−3i3\left(x-iy\right)-2i\left(x+iy\right)=5-3i
3x−3iy−2ix+2y=5−3i3x-3iy-2ix+2y=5-3i
3x+2y+i(−3y−2x)=5−3i3x+2y+i\left(-3y-2x\right)=5-3i .
Par identification, on obtient le système suivant :
{3x+2y=5−2x−3y=−3\left\{\begin{array}{ccc} {3x+2y} & {=} & {5} \\ {-2x-3y} & {=} & {-3} \end{array}\right.
On utilise la méthode par combinaison :
×2×3{3x+2y=5−2x−3y=−3\begin{array}{c} {\times 2} \\ {\times 3} \end{array}\left\{\begin{array}{ccc} {3x+2y} & {=} & {5} \\ {-2x-3y} & {=} & {-3} \end{array}\right.
{6x+4y=10−6x−9y=−9\left\{\begin{array}{ccc} {6x+4y} & {=} & {10} \\ {-6x-9y} & {=} & {-9} \end{array}\right.
Maintenant on additionne les deux lignes :
{6x+4y=10−5y=1\left\{\begin{array}{ccc} {6x+4y} & {=} & {10} \\ {-5y} & {=} & {1} \end{array}\right.
{6x+4y=10y=−15\left\{\begin{array}{ccc} {6x+4y} & {=} & {10} \\ {y} & {=} & {\frac{-1}{5} } \end{array}\right.
Et enfin on remplace dans la première ligne 6x+4y=106x+4y=10 c'est à dire 6x+4×(−15)=106x+4\times\left(-\frac{1}{5}\right)=10 pour obtenir x=95x=\frac{9}{5}
La solution de l'équation est alors :
z=95−15iz=\frac{9}{5} -\frac{1}{5} i
Question 2

(2−3i)z+3−2i=2iz+4+10i\left(2-3i\right)z+3-2i=2iz+4+10i

Correction
(2−3i)z+3−2i=2iz+4+10i\left(2-3i\right)z+3-2i=2iz+4+10i
(2−3i)z−2iz=4+10i−3+2i\left(2-3i\right)z-2iz=4+10i-3+2i
Ici on factorise par zz le membre de gauche
(2−3i−2i)z=1+12i\left(2-3i-2i\right)z=1+12i
(2−5i)z=1+12i\left(2-5i\right)z=1+12i
z=1+12i2−5iz=\frac{1+12i}{2-5i}
z=(1+12i)(2+5i)(2−5i)(2+5i)z=\frac{\left(1+12i\right)\left(2+5i\right)}{\left(2-5i\right)\left(2+5i\right)}
z=2+5i+24i+60i222+52z=\frac{2+5i+24i+60i^{2} }{2^{2} +5^{2} }
z=2+5i+24i−6029z=\frac{2+5i+24i-60}{29}
z=−58+29i29z=\frac{-58+29i}{29}
z=−5829+29i29z=\frac{-58}{29} +\frac{29i}{29}
Ainsi :
z=−2+iz=-2+i

La solution de l'équation est alors :
S={−2+i}S=\left\{-2+i\right\}
Question 3

z2−2z+10=0z^{2} -2z+10=0

Correction
Δ=−36\Delta =-36, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
d'où z1=2−i362z_{1} =\frac{2-i\sqrt{36} }{2} c'est à dire :
z1=1−3iz_{1} =1-3i

d'où z2=2+i362z_{2} =\frac{2+i\sqrt{36} }{2} c'est à dire :
z2=1+3iz_{2} =1+3i

Donc S={1−3i;1+3i}S=\left\{1-3i ;1+3i \right\}
Question 4

2iz‾−4=5i+4z2i\overline{z}-4=5i+4z

Correction
Dans le cas où nous avons une équation avec du zz et du z‾\overline{z}, il faut poser z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy
2iz‾−4=5i+4z2i\overline{z}-4=5i+4z équivaut successivement à :
2i×(x−iy)−4=5i+4×(x+iy)2i\times \left(x-iy\right)-4=5i+4\times \left(x+iy\right)
2ix−2i2y−4=5i+4x+4iy2ix-2i^{2} y-4=5i+4x+4iy
2ix−2×(−1)y−4=5i+4x+4iy2ix-2\times \left(-1\right)y-4=5i+4x+4iy
2ix+2y−4=5i+4x+4iy2ix+2y-4=5i+4x+4iy
2ix+2y−4−5i−4x−4iy=02ix+2y-4-5i-4x-4iy=0
(2y−4−4x)+i(2x−5−4y)=0\left(2y-4-4x\right)+i\left(2x-5-4y\right)=0
Par identification, on obtient le système suivant :
{−4x+2y−4=02x−4y−5=0\left\{\begin{array}{ccc} {-4x+2y-4} & {=} & {0} \\ {2x-4y-5} & {=} & {0} \end{array}\right.
On utilise la méthode par combinaison :
×1×2{−4x+2y−4=02x−4y−5=0\begin{array}{c} {\times 1} \\ {\times 2} \end{array}\left\{\begin{array}{ccc} {-4x+2y-4} & {=} & {0} \\ {2x-4y-5} & {=} & {0} \end{array}\right.
{−4x+2y−4=04x−8y−10=0\left\{\begin{array}{ccc} {-4x+2y-4} & {=} & {0} \\ {4x-8y-10} & {=} & {0} \end{array}\right.
Maintenant on additionne les deux lignes :
{−4x+2y−4=0−6y−14=0\left\{\begin{array}{ccc} {-4x+2y-4} & {=} & {0} \\ {-6y-14} & {=} & {0} \end{array}\right.
{−4x+2y−4=0y=14−6\left\{\begin{array}{ccc} {-4x+2y-4} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {\frac{14}{-6} } \end{array}\right.
{−4x+2y−4=0y=−73\left\{\begin{array}{ccc} {-4x+2y-4} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {-\frac{7}{3} } \end{array}\right.
Et enfin on remplace dans la première ligne −4x+2y−4=0-4x+2y-4=0 c'est à dire −4x+2×(−73)−4=0-4x+2\times\left(-\frac{7}{3}\right)-4=0 pour obtenir x=−136x=-\frac{13}{6}
La solution de l'équation est alors :
z=−136−73iz=-\frac{13}{6} -\frac{7}{3} i

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