Exercices types : Résolution d'équation - Exercice 1

On a alors
$$P\left(i\right)=0$$ équivaut successivement à
$$i^{3} -\left(6+i\right)i^{2} +\beta i-13i=0$$
$$-i-\left(6+i\right)\left(-1\right)+\beta i-13i=0$$
$$-i+6+i+\beta i-13i=0$$
$$\beta i=13i-6$$
$$\beta =\frac{13i-6}{i}$$
$$\beta =\frac{\left(13i-6\right)\left(-i\right)}{i\left(-i\right)}$$
Ainsi :

On développe $$P\left(z\right)=\left(z-i\right)\left(z^{2} +az+b\right)$$.
$$P\left(z\right)=z^{3} +az^{2} +bz-iz^{2} -iaz-ib.$$
On factorise par les monômes de même degré.
$$P\left(z\right)=z^{3} +z^{2} \left({\color{blue}a-i}\right)+z\left({\color{red}b-ia}\right){\color{purple}-ib}$$
Or $$P\left(z\right)=z^{3} {\color{blue}-\left(6+i\right)}z^{2} +\left({\color{red}13+6i}\right)z{\color{purple}-13i}$$
Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients respectifs sont égaux.
Par identification, on obtient le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{blue}a-i}} & {=} & {{\color{blue}-\left(6+i\right)}} \\ {{\color{red}b-ia}} & {=} & {{\color{red}13+6i}} \\ {{\color{purple}-ib}} & {=} & {{\color{purple}-13i}} \end{array}\right.$$
On résout le système, il vient alors que :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-6} \\ {b} & {=} & {13} \\ {b} & {=} & {13} \end{array}\right.$$
Il en résulte que : $$P\left(z\right)=\left(z-i\right)\left(z^{2} -6z+13\right)$$

Pour résoudre $$P\left(z\right)=0$$ , on utilise la forme $$P\left(z\right)=\left(z-i\right)\left(z^{2} -6z+13\right)$$
$$P\left(z\right)=0$$ donne alors $$\left(z-i\right)\left(z^{2} -6z+13\right)=0$$ ( équation produit nul)
$$z-i=0$$ ou $$z^{2} -6z+13=0$$
$$\red{\text{ Calculons d'une part :}}$$ $$z-i=0$$ alors $$z=i$$
$$\red{\text{ Calculons d'autre part :}}$$ $$z^{2} -6z+13=0$$.
On utilise le discriminant $$\Delta =\left(-6\right)^{2} -4\times 1\times 13=36-52=-16$$
Donc :
$$z_{1} =\frac{6-i\sqrt{16} }{2}$$ d'où $$z_{1} =3-2i$$
$$z_{2} =\frac{6+i\sqrt{16} }{2}$$ d'où $$z_{2} =3+2i$$
Ainsi :