Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 2

Premièrement :
$$z_1$$ étant une racine de $$z^{2}+Az+B=0$$ alors on peut écrire que :
$$\left(1+i\right)^{2}+A\left(1+i\right)+B=0$$
$$1+2i+i^2+A+Ai+B=0$$
$$1+2i-1+A+Ai+B=0$$
$$2i+A+Ai+B=0$$
Deuxièmement :
$$z_2$$ étant une racine de $$z^{2}+Az+B=0$$ alors on peut écrire que :
$${\left(2i\right)}^2+2iA+B=0$$
$${4i}^2+2iA+B=0$$
$$-4+2iA+B=0$$
Pour déterminer les complexes $$A$$ et $$B$$, il nous faut résoudre le système :
$$\left\{ \begin{array}{ccc}2i+A+Ai+B & = & 0 \\ -4+2iA+B & = & 0 \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{ \begin{array}{ccc}2i+A+Ai+B & = & 0 \\ B & = & 4-2iA \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}2i+A+Ai+4-2iA & = & 0 \\ B & = & 4-2iA \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}2i+A-Ai+4 & = & 0 \\ B & = & 4-2iA \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}A-Ai & = & -4-2i \\ B & = & 4-2iA \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}A\left(1-i\right) & = & -4-2i \\ B & = & 4-2iA \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & \frac{-4-2i}{1-i} \\ B & = & 4-2iA \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & \frac{\left(-4-2i\right)\left(1+i\right)}{\left(1-i\right)\left(1+i\right)} \\ B & = & 4-2iA \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & \frac{-4-4i-2i-2i^2}{1^2+1^2} \\ B & = & 4-2iA \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & \frac{-4-4i-2i+2}{2} \\ B & = & 4-2iA \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & \frac{-2-6i}{2} \\ B & = & 4-2iA \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & -1-3i \\ B & = & 4-2iA \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & -1-3i \\ B & = & 4-2i\times \left(-1-3i\right) \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & -1-3i \\ B & = & 4+2i+6i^2 \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & -1-3i \\ B & = & 4+2i-6 \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & -1-3i \\ B & = & -2+2i \end{array}\right.$$
Les complexes $$A$$ et $$B$$ tels que l’équation : $$z^{2}+Az+B=0$$ admette pour racines : $$z_1=1 + i$$ et $$z_2=2i$$ sont $$A=-1-3i$$ et $$B=-2+2i$$ .