Nombres complexes : équations polynomiales

Exercices types : 11ère partie - Exercice 2

15 min
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Soient AA et BB deux nombres complexes.
Question 1

Déterminer les complexes AA et BB tels que l’équation : z2+Az+B=0z^{2}+Az+B=0 admette pour racines : z1=1+iz_1=1 + i et z2=2iz_2=2i .

Correction
Premièrement :
z1z_1 étant une racine de z2+Az+B=0z^{2}+Az+B=0 alors on peut écrire que :
(1+i)2+A(1+i)+B=0\left(1+i\right)^{2}+A\left(1+i\right)+B=0
1+2i+i2+A+Ai+B=01+2i+i^2+A+Ai+B=0
1+2i−1+A+Ai+B=01+2i-1+A+Ai+B=0
2i+A+Ai+B=02i+A+Ai+B=0
Deuxièmement :
z2z_2 étant une racine de z2+Az+B=0z^{2}+Az+B=0 alors on peut écrire que :
(2i)2+2iA+B=0{\left(2i\right)}^2+2iA+B=0
4i2+2iA+B=0{4i}^2+2iA+B=0
−4+2iA+B=0-4+2iA+B=0
Pour déterminer les complexes AA et BB, il nous faut résoudre le système :
{2i+A+Ai+B=0−4+2iA+B=0\left\{ \begin{array}{ccc}2i+A+Ai+B & = & 0 \\ -4+2iA+B & = & 0 \end{array}\right. équivaut successivement à :
{2i+A+Ai+B=0B=4−2iA\left\{ \begin{array}{ccc}2i+A+Ai+B & = & 0 \\ B & = & 4-2iA \end{array}\right.
{2i+A+Ai+4−2iA=0B=4−2iA\left\{ \begin{array}{ccc}2i+A+Ai+4-2iA & = & 0 \\ B & = & 4-2iA \end{array}\right.
{2i+A−Ai+4=0B=4−2iA\left\{ \begin{array}{ccc}2i+A-Ai+4 & = & 0 \\ B & = & 4-2iA \end{array}\right.
{A−Ai=−4−2iB=4−2iA\left\{ \begin{array}{ccc}A-Ai & = & -4-2i \\ B & = & 4-2iA \end{array}\right.
{A(1−i)=−4−2iB=4−2iA\left\{ \begin{array}{ccc}A\left(1-i\right) & = & -4-2i \\ B & = & 4-2iA \end{array}\right.
{A=−4−2i1−iB=4−2iA\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & \frac{-4-2i}{1-i} \\ B & = & 4-2iA \end{array}\right.
{A=(−4−2i)(1+i)(1−i)(1+i)B=4−2iA\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & \frac{\left(-4-2i\right)\left(1+i\right)}{\left(1-i\right)\left(1+i\right)} \\ B & = & 4-2iA \end{array}\right.
{A=−4−4i−2i−2i212+12B=4−2iA\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & \frac{-4-4i-2i-2i^2}{1^2+1^2} \\ B & = & 4-2iA \end{array}\right.
{A=−4−4i−2i+22B=4−2iA\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & \frac{-4-4i-2i+2}{2} \\ B & = & 4-2iA \end{array}\right.
{A=−2−6i2B=4−2iA\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & \frac{-2-6i}{2} \\ B & = & 4-2iA \end{array}\right.
{A=−1−3iB=4−2iA\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & -1-3i \\ B & = & 4-2iA \end{array}\right.
{A=−1−3iB=4−2i×(−1−3i)\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & -1-3i \\ B & = & 4-2i\times \left(-1-3i\right) \end{array}\right.
{A=−1−3iB=4+2i+6i2\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & -1-3i \\ B & = & 4+2i+6i^2 \end{array}\right.
{A=−1−3iB=4+2i−6\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & -1-3i \\ B & = & 4+2i-6 \end{array}\right.
{A=−1−3iB=−2+2i\left\{ \begin{array}{ccc}A & = & -1-3i \\ B & = & -2+2i \end{array}\right.
Les complexes AA et BB tels que l’équation : z2+Az+B=0z^{2}+Az+B=0 admette pour racines : z1=1+iz_1=1 + i et z2=2iz_2=2i sont A=−1−3iA=-1-3i et B=−2+2iB=-2+2i .