Nombres complexes : équations polynomiales

Exercices types : 11ère partie

Exercice 1

On considère l’équation (E):z3=4z28z+8\left(E\right) : z^{3} = 4z^{2} -8z +8 ayant pour inconnue le nombre complexe zz.
1

Pour tout nombre complexe zz, démontrer que z34z2+8z8=(z2)(z22z+4)z^{3} -4z^{2} +8z-8=\left(z-2\right)\left(z^{2} -2z+4\right)

Correction
2

Résoudre l'équation (E)\left(E\right) .

Correction
3

Écrire les solutions de l’équation (E)\left(E\right) sous forme exponentielle.

Correction
On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct (O;u;v)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) .
Soient A,B,CA, B, C et DD les quatre points d’affixes respectives zA=1+i3z_A=1+i\sqrt{3} ; zB=2z_B=2 ; zC=1i3z_C=1-i\sqrt{3} et zD=1z_D=1 .
4

Faire une figure.

Correction
5

Quelle est la nature du quadrilatère OABCOABC ? Justifier.

Correction
Soit MM le point d’affixe zM=74+i34z_M=\frac{7}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4} .
6

Démontrer que les points A,MA, M et BB sont alignés.

Correction
7

Démontrer que le triangle DMBDMB est rectangle.

Correction
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