Nombres complexes : équations polynomiales

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

30 min
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On considère l’équation (E):z3=4z28z+8\left(E\right) : z^{3} = 4z^{2} -8z +8 ayant pour inconnue le nombre complexe zz.
Question 1

Pour tout nombre complexe zz, démontrer que z34z2+8z8=(z2)(z22z+4)z^{3} -4z^{2} +8z-8=\left(z-2\right)\left(z^{2} -2z+4\right)

Correction
Il nous faut développer (z2)(z22z+4)\left(z-2\right)\left(z^{2} -2z+4\right) .
(z2)(z22z+4)=z32z2+4z2z2+4z8\left(z-2\right)\left(z^{2} -2z+4\right)=z^{3} -2z^{2} +4z-2z^{2} +4z-8
(z2)(z22z+4)=z34z2+8z8\left(z-2\right)\left(z^{2} -2z+4\right)=z^{3} -4z^{2} +8z-8
Question 2

Résoudre l'équation (E)\left(E\right) .

Correction
On considère l’équation (E):z3=4z28z+8\left(E\right) : z^{3} = 4z^{2} -8z +8 que nous pouvons écrire z34z2+8z8=0z^{3} -4z^{2} +8z-8=0
D'après la question 11, nous savons que z34z2+8z8=(z2)(z22z+4)z^{3} -4z^{2} +8z-8=\left(z-2\right)\left(z^{2} -2z+4\right) .
Il en résulte donc que résoudre l'équation z34z2+8z8=0z^{3} -4z^{2} +8z-8=0 revient à résoudre (z2)(z22z+4)=0\left(z-2\right)\left(z^{2} -2z+4\right)=0
Ainsi :
(z2)(z22z+4)=0\left(z-2\right)\left(z^{2} -2z+4\right)=0
C'est une équation produit nul donc z2=0z-2=0 ou z22z+4=0z^{2} -2z+4=0
Calculons d’une part :\red{\text{Calculons d'une part :}} z2=0z-2=0 alors z=2z=2 .
Calculons d’autre part :\red{\text{Calculons d'autre part :}} z22z+4=0z^{2} -2z+4=0
Δ=12\Delta =-12, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=biΔ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et z2=b+iΔ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
z1=2i122z_{1} =\frac{2-i\sqrt{12} }{2} et z2=2+i122z_{2} =\frac{2+i\sqrt{12} }{2}
z1=223i2z_{1} =\frac{2-2\sqrt{3}i}{2} et z2=2+23i2z_{2} =\frac{2+2\sqrt{3} i}{2}
Ainsi :
z1=1i3z_{1} =1-i\sqrt{3}
et
z2=1+i3z_{2} =1+i\sqrt{3}

Donc S={2;1i3;1+i3}S=\left\{2;1-i\sqrt{3} ;1+i\sqrt{3} \right\}
Question 3

Écrire les solutions de l’équation (E)\left(E\right) sous forme exponentielle.

Correction
D'après la question 22, nous savons que les solutions de l'équation (E)\left(E\right) sont S={2;1i3;1+i3}S=\left\{2;1-i\sqrt{3} ;1+i\sqrt{3} \right\}.
Premieˋrement :\text{\purple{Premièrement :}} on note z0=2z_{0}=2
z0=22+02=4=2\left|z_{0} \right|=\sqrt{2^{2} +0^{2} } =\sqrt{4} =2
Pour l'argument θ\theta on sait que {cos(θ)=partie reˊelle de z0module de z0sin(θ)=partie imaginaire de z0module de z0\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie réelle de } z_{0}}{\text{module de } z_{0}} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie imaginaire de } z_{0}}{\text{module de } z_{0} } } \end{array}\right.
On a donc {cos(θ)=22sin(θ)=02\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{2}{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{0}{2} } \end{array}\right.
d'où {cos(θ)=1sin(θ)=0\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {1} \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {0} \end{array}\right.
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que
θ=0[2π]\theta =0\left[2\pi \right]

Ainsi z0=2=2ei0\red{z_{0}=2=2e^{i0}}
Deuxieˋmement :\text{\purple{Deuxièmement :}} on note z1=1i3z_{1} =1-i\sqrt{3}
z1=12+(3)2=2.\left|z_{1} \right|=\sqrt{1^{2} +\left(-\sqrt{3} \right)^{2} } =2.
Pour l'argument θ\theta on sait que {cos(θ)=partie reˊelle de z1module de z1sin(θ)=partie imaginaire de z1module de z1\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie réelle de } z_{1}}{\text{module de } z_{1}} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie imaginaire de } z_{1}}{\text{module de } z_{1} } } \end{array}\right.
Ainsi : {cos(θ)=12sin(θ)=32\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-\sqrt{3} }{2} } \end{array}\right.
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que
θ=π3[2π]\theta =-\frac{\pi }{3} \left[2\pi \right]

Ainsi z1=1i3=2eiπ3\red{z_{1}=1-i\sqrt{3}=2e^{-i\frac{\pi }{3} }}
Troisieˋmement :\text{\purple{Troisièmement :}} on note z2=1+i3z_{2} =1+i\sqrt{3}
On remarque que z2z_{2} est le conjugué de z1z_{1} .
Il en résulte donc que : z2=1+i3=2eiπ3\red{z_{2}=1+i\sqrt{3}=2e^{i\frac{\pi }{3} }}
Question 4
On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct (O;u;v)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) .
Soient A,B,CA, B, C et DD les quatre points d’affixes respectives zA=1+i3z_A=1+i\sqrt{3} ; zB=2z_B=2 ; zC=1i3z_C=1-i\sqrt{3} et zD=1z_D=1 .

Faire une figure.

Correction
Question 5

Quelle est la nature du quadrilatère OABCOABC ? Justifier.

Correction
On conjecture que le quadrilatère OABCOABC est un losange. Il faut donc montrer que OABCOABC est un parallélogramme avec deux cotés consécutifs égaux.
  • Si zAz_{A} et zBz_{B} sont les affixes respectives des points AA et BB dans un repère orthonormé, alors l'affixe du vecteur AB\overrightarrow{AB} est égale à zAB=zBzAz_{\overrightarrow{AB} }=z_{B}-z_{A}.
OABCOABC est un parallélogramme si et seulement si zOA=zCBz_{\overrightarrow{OA} }=z_{\overrightarrow{CB} }.
D’une part :\red{\text{D'une part :}}
zOA=zAzOz_{\overrightarrow{OA} }=z_{A}-z_{O}
zOA=1+i30z_{\overrightarrow{OA} }=1+i\sqrt{3}-0
zOA=1+i3z_{\overrightarrow{OA} }=1+i\sqrt{3}

D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
zCB=zBzCz_{\overrightarrow{CB} }=z_{B}-z_{C}
zCB=2(1i3)z_{\overrightarrow{CB} }=2-\left(1-i\sqrt{3}\right)
zCB=21+i3z_{\overrightarrow{CB} }=2-1+i\sqrt{3}
zCB=1+i3z_{\overrightarrow{CB} }=1+i\sqrt{3}

Nous avons bien zOA=zCBz_{\overrightarrow{OA} }=z_{\overrightarrow{CB} }. il en résulte que le quadrilatère OABCOABC est un parallélogramme.
Calculons maintenant les mesures des cotés [CO]\left[CO\right] et [OA]\left[OA\right] .
  • CO=zOzC=0(1i3)=1+i3=(1)2+(3)2=2CO=\left|z_{O} -z_{C} \right|=\left|0-\left(1-i\sqrt{3} \right)\right|=\left|-1+i\sqrt{3} \right|=\sqrt{\left(-1\right)^{2} +\left(\sqrt{3} \right)^{2} } =2
  • OA=zAzO=1+i3=12+(3)2=2OA=\left|z_{A} -z_{O} \right|=\left|1+i\sqrt{3} \right|=\sqrt{1^{2} +\left(\sqrt{3} \right)^{2} } =2
  • Finalement, OABCOABC est un parallélogramme avec deux cotés consécutifs égaux. Autrement dit, OABCOABC est un losange.
    Question 6
    Soit MM le point d’affixe zM=74+i34z_M=\frac{7}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4} .

    Démontrer que les points A,MA, M et BB sont alignés.

    Correction
    • Si zAz_{A} et zBz_{B} sont les affixes respectives des points AA et BB dans un repère orthonormé, alors l'affixe du vecteur AB\overrightarrow{AB} est égale à zAB=zBzAz_{\overrightarrow{AB} }=z_{B}-z_{A}.
    Calculons d’une part :\red{\text{Calculons d'une part :}}
    zAM=zMzAz_{\overrightarrow{AM} }=z_{M}-z_{A}
    zAM=74+i341i3z_{\overrightarrow{AM} } =\frac{7}{4} +i\frac{\sqrt{3} }{4} -1-i\sqrt{3}
    zAM=74+i3444i434z_{\overrightarrow{AM} } =\frac{7}{4} +i\frac{\sqrt{3} }{4} -\frac{4}{4} -i\frac{4\sqrt{3} }{4}
    zAM=34i334z_{\overrightarrow{AM} } =\frac{3}{4} -i\frac{3\sqrt{3} }{4}
    zAM=34(1i3)z_{\overrightarrow{AM} } =\frac{3}{4} \left(1-i\sqrt{3} \right)
    Calculons d’autre part :\red{\text{Calculons d'autre part :}}
    zAB=zBzAz_{\overrightarrow{AB} }=z_{B}-z_{A}
    zAB=2(1+i3)z_{\overrightarrow{AB} } =2-\left(1+i\sqrt{3} \right)
    zAB=21i3z_{\overrightarrow{AB} } =2-1-i\sqrt{3}
    zAB=1i3z_{\overrightarrow{AB} } =1-i\sqrt{3}
    On remarque que : zAM=34×zABz_{\overrightarrow{AM} }=\frac{3}{4}\times z_{\overrightarrow{AB} }
    Les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AM\overrightarrow{AM} sont colineˊaires\blue{\text{colinéaires}} donc les points A,MA, M et BB sont alignés.
    Question 7

    Démontrer que le triangle DMBDMB est rectangle.

    Correction
    On conjecture que le triangle DMBDMB est rectangle en MM .
      Soient AA et BB deux points d'affixe respective zAz_A et zBz_B .
  • La distance\red{\text{distance}} ABAB est égale à AB=zBzA=zAzBAB=\left|z_{B} -z_{A} \right|=\left|z_{A} -z_{B} \right|
  • DM=zMzDDM=74+i341DM=34+i34DM=(34)2+(34)2DM=32DM=\left|z_{M} -z_{D} \right|\Leftrightarrow DM=\left|\frac{7}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4}-1\right|\Leftrightarrow DM=\left|\frac{3}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4}\right|\Leftrightarrow DM=\sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^{2} + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^{2}} \Leftrightarrow DM=\frac{\sqrt{3}}{2}
  • BM=zMzBBM=74+i342BM=14+i34BM=(14)2+(34)2BM=12BM=\left|z_{M} -z_{B} \right|\Leftrightarrow BM=\left|\frac{7}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4}-2\right|\Leftrightarrow BM=\left|-\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4}\right|\Leftrightarrow BM=\sqrt{\left(-\frac{1}{4}\right)^{2} + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^{2}} \Leftrightarrow BM=\frac{1}{2}
  • BD=zDzBBD=21BD=1BD=1BD=\left|z_{D} -z_{B} \right|\Leftrightarrow BD=\left|2-1\right|\Leftrightarrow BD=\left|1\right|\Leftrightarrow BD=1
  • On veˊrifie que : \red{\text{On vérifie que : }}
    BD2=1BD^{2} =1 et que DM2+BM2=(32)2+(12)2=1DM^{2}+BM^{2} =\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=1
    D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DMBDMB est rectangle en MM.