Devoir type n°2 (2 h) - Exercice 3

40 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Raisonner.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Raisonner.}     \;\; 2°)  Calculer.{\color{red}2°)\;Calculer.}
Barème : 7 points
Question 1

Démontrer que, pour tous nombres complexes zz et aa : z3−a3=(z−a)(z2+az+a2)z^{3}-a^{3}=\left(z-a\right)\left(z^{2}+az+a^{2}\right) .

Correction
(z−a)(z2+az+a2)=z3+az2+a2z−az2−a2z−a3\left(z-a\right)\left(z^{2}+az+a^{2}\right)=z^{3}+az^{2}+a^{2}z-az^{2}-a^{2}z-a^{3}
Les termes az2az^{2} et a2za^{2}z s'éliminent :
z3−a3=(z−a)(z2+az+a2)z^{3}-a^{3}=\left(z-a\right)\left(z^{2}+az+a^{2}\right)

Question 2

Vérifier que (−2i)3=8i\left(-2i\right)^{3}=8i .

Correction
(−2i)3=(−2)3×i3=−8×(−i)\left(-2i\right)^{3}=\left(-2\right)^{3}\times i^{3}=-8\times \left(-i\right) d'où
(−2i)3=8i\left(-2i\right)^{3}=8i

Question 3

En déduire que l'équation z3=8iz^{3}=8i équivaut à (z+2i)(z2−2iz−4)=0\left(z+2i\right)\left(z^{2}-2iz-4\right)=0 .

Correction
z3=8iz^{3}=8i équivaut à z3−(−2i)3=0z^{3}-\left(-2i\right)^{3}=0 . Avec a=−2ia=-2i dans la question 1 :
(z+2i)(z2−2iz+(−2i)2)=0\left(z+2i\right)\left(z^{2}-2iz+\left(-2i\right)^{2}\right)=0 et (−2i)2=−4\left(-2i\right)^{2}=-4 .
Ainsi :
z3=8iz^{3}=8i équivaut à (z+2i)(z2−2iz−4)=0\left(z+2i\right)\left(z^{2}-2iz-4\right)=0

Question 4

Résoudre l'équation z2−2iz−4=0z^{2}-2iz-4=0 , puis donner toutes les solutions de z3=8iz^{3}=8i .

Correction
  • Soit az2+bz+c=0az^{2}+bz+c=0 une équation du second degré à coefficients complexes (a≠0a\ne 0) et Δ=b2−4ac\Delta =b^{2}-4ac . Si δ\delta est un nombre complexe tel que δ2=Δ\delta^{2}=\Delta , les solutions sont z1=−b−δ2az_{1}=\dfrac{-b-\delta}{2a} et z2=−b+δ2az_{2}=\dfrac{-b+\delta}{2a} (une seule solution si Δ=0\Delta =0).
    • Ici a=1a=1 , b=−2ib=-2i et c=−4c=-4 : Δ=(−2i)2−4×1×(−4)=−4+16=12\Delta =\left(-2i\right)^{2}-4\times 1\times \left(-4\right)=-4+16=12 .
    Δ=12\Delta =12 est un réel positif : δ=12=23\delta =\sqrt{12}=2\sqrt{3} convient.
    z1=2i−232=−3+iz_{1}=\dfrac{2i-2\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}+i et z2=2i+232=3+iz_{2}=\dfrac{2i+2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}+i
    Avec la solution −2i-2i du premier facteur, les solutions de z3=8iz^{3}=8i sont :
    S={−2i;−3+i;3+i}S=\left\{-2i;-\sqrt{3}+i;\sqrt{3}+i\right\}

    Question 5

    Démontrer que les points images des trois solutions sont les sommets d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle de centre OO et de rayon 22 .

    Correction
      Soient AA et BB deux points d'affixe respective zAz_A et zBz_B .
  • La distance\red{\text{distance}} ABAB est égale à AB=∣zB−zA∣=∣zA−zB∣AB=\left|z_{B} -z_{A} \right|=\left|z_{A} -z_{B} \right|
    • On note EE , FF et GG les points d'affixes −2i-2i , −3+i-\sqrt{3}+i et 3+i\sqrt{3}+i .
    OE=∣−2i∣=2OE=\left|-2i\right|=2 , OF=∣−3+i∣=3+1=2OF=\left|-\sqrt{3}+i\right|=\sqrt{3+1}=2 et OG=∣3+i∣=2OG=\left|\sqrt{3}+i\right|=2 : les trois points sont sur le cercle de centre OO et de rayon 22 .
    FG=∣3+i−(−3+i)∣=∣23∣=23FG=\left|\sqrt{3}+i-\left(-\sqrt{3}+i\right)\right|=\left|2\sqrt{3}\right|=2\sqrt{3}
    EG=∣3+i+2i∣=∣3+3i∣=3+9=23EG=\left|\sqrt{3}+i+2i\right|=\left|\sqrt{3}+3i\right|=\sqrt{3+9}=2\sqrt{3}
    EF=∣−3+i+2i∣=∣−3+3i∣=3+9=23EF=\left|-\sqrt{3}+i+2i\right|=\left|-\sqrt{3}+3i\right|=\sqrt{3+9}=2\sqrt{3}
    Ainsi :
    EF=FG=EG=23EF=FG=EG=2\sqrt{3} : le triangle EFGEFG est équilatéral

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