Devoir type n°2 (2 h) - Exercice 2

40 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Calculer.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer.}     \;\; 2°)  Raisonner.{\color{red}2°)\;Raisonner.}     \;\; 3°)  Repreˊsenter.{\color{red}3°)\;Représenter.}
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) .
On considère le polynôme P(z)=z4−2z3+11z2−2z+10P\left(z\right)=z^{4}-2z^{3}+11z^{2}-2z+10 .
Barème : 8 points
Question 1

Calculer P(i)P\left(i\right) . En déduire, sans calcul, une autre racine de PP .

Correction
  • Si PP est un polynôme à coefficients reˊels\red{\text{coefficients réels}} et si z0z_{0} est une racine de PP, alors z0‾\overline{z_{0}} est aussi une racine de PP : en effet P(z0‾)=P(z0)‾=0‾=0P\left(\overline{z_{0}}\right)=\overline{P\left(z_{0}\right)}=\overline{0}=0 .
    • i2=−1i^{2}=-1 , i3=−ii^{3}=-i et i4=1i^{4}=1 .
    P(i)=1−2(−i)+11(−1)−2i+10=1+2i−11−2i+10P\left(i\right)=1-2\left(-i\right)+11\left(-1\right)-2i+10=1+2i-11-2i+10 d'où
    P(i)=0P\left(i\right)=0

    Les coefficients de PP sont réels, donc i‾=−i\overline{i}=-i est aussi une racine :
    P(−i)=0P\left(-i\right)=0

    Question 2

    Déterminer les réels aa et bb tels que, pour tout nombre complexe zz , P(z)=(z2+1)(z2+az+b)P\left(z\right)=\left(z^{2}+1\right)\left(z^{2}+az+b\right) .

    Correction
  • Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients respectifs sont égaux.
    • (z2+1)(z2+az+b)=z4+az3+bz2+z2+az+b=z4+az3+(b+1)z2+az+b\left(z^{2}+1\right)\left(z^{2}+az+b\right)=z^{4}+az^{3}+bz^{2}+z^{2}+az+b=z^{4}+az^{3}+\left(b+1\right)z^{2}+az+b
    Par identification : a=−2a=-2 et b=10b=10 , et on vérifie que b+1=11b+1=11 .
    Finalement :
    P(z)=(z2+1)(z2−2z+10)P\left(z\right)=\left(z^{2}+1\right)\left(z^{2}-2z+10\right)

    Question 3

    Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation P(z)=0P\left(z\right)=0 .

    Correction
    (z2+1)(z2−2z+10)=0\left(z^{2}+1\right)\left(z^{2}-2z+10\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
    D’une part :\red{\text{D'une part :}} z2+1=0z^{2}+1=0 a pour solutions ii et −i-i (question 1).
    D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} z2−2z+10=0z^{2}-2z+10=0 : Δ=4−40=−36\Delta =4-40=-36 , donc z=2±6i2=1±3iz=\dfrac{2\pm 6i}{2}=1\pm 3i .
    Les solutions de l'équation sont donc :
    S={−i;i;1−3i;1+3i}S=\left\{-i;i;1-3i;1+3i\right\}

    Question 4

    On note AA , BB , CC et DD les points d'affixes respectives ii , −i-i , 1+3i1+3i et 1−3i1-3i . Démontrer que les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont parallèles et que AC=BDAC=BD . Quelle est la nature du quadrilatère ABDCABDC ?

    Correction
    • Si zAz_{A} et zBz_{B} sont les affixes respectives des points AA et BB dans un repère orthonormé, alors l'affixe du vecteur AB→\overrightarrow{AB} est égale à zAB→=zB−zAz_{\overrightarrow{AB} }=z_{B}-z_{A}.
    zAB→=−i−i=−2iz_{\overrightarrow{AB}}=-i-i=-2i et zCD→=1−3i−(1+3i)=−6iz_{\overrightarrow{CD}}=1-3i-\left(1+3i\right)=-6i , donc zCD→=3zAB→z_{\overrightarrow{CD}}=3z_{\overrightarrow{AB}} : les vecteurs sont colinéaires et
    (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont parallèles

    AC=∣1+3i−i∣=∣1+2i∣=5AC=\left|1+3i-i\right|=\left|1+2i\right|=\sqrt{5} et BD=∣1−3i+i∣=∣1−2i∣=5BD=\left|1-3i+i\right|=\left|1-2i\right|=\sqrt{5} :
    AC=BDAC=BD

    ABDCABDC a deux côtés parallèles [AB]\left[AB\right] et [CD]\left[CD\right] de longueurs 22 et 66 , et ses deux autres côtés ont la même longueur : c'est un trapèze isocèle.

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