Devoir type n°2 (2 h) - Exercice 1

25 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Calculer.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer.}     \;\; 2°)  Raisonner.{\color{red}2°)\;Raisonner.}
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) .
Soit mm un nombre réel et (Em)\left(E_{m}\right) l'équation z2−2mz+m2+9=0z^{2}-2mz+m^{2}+9=0 .
Barème : 5 points
Question 1

Calculer le discriminant de (Em)\left(E_{m}\right) et résoudre (Em)\left(E_{m}\right) .

Correction
Δ=(−2m)2−4×1×(m2+9)=4m2−4m2−36=−36\Delta =\left(-2m\right)^{2}-4\times 1\times \left(m^{2}+9\right)=4m^{2}-4m^{2}-36=-36
Δ<0\Delta \lt 0 pour tout mm , il existe donc deux racines complexes conjuguées z=2m±6i2z=\dfrac{2m\pm 6i}{2} .
Ainsi :
S={m−3i;m+3i}S=\left\{m-3i;m+3i\right\}

Question 2

Pour quelles valeurs de mm les solutions ont-elles pour module 55 ?

Correction
∣m±3i∣=m2+9\left|m\pm 3i\right|=\sqrt{m^{2}+9} . On résout m2+9=5\sqrt{m^{2}+9}=5 , ce qui équivaut successivement à :
m2+9=25m^{2}+9=25
m2=16m^{2}=16
Ainsi :
m=−4m=-4 ou m=4m=4

Question 3

On note AA et BB les points images des solutions. Pour quelles valeurs de mm le triangle OABOAB est-il rectangle en OO ?

Correction
OA2=OB2=m2+9OA^{2}=OB^{2}=m^{2}+9 et AB=∣(m+3i)−(m−3i)∣=∣6i∣=6AB=\left|\left(m+3i\right)-\left(m-3i\right)\right|=\left|6i\right|=6 .
D'après le théorème de Pythagore et sa réciproque, OABOAB est rectangle en OO si et seulement si OA2+OB2=AB2OA^{2}+OB^{2}=AB^{2} , ce qui équivaut successivement à :
2(m2+9)=362\left(m^{2}+9\right)=36
m2=9m^{2}=9
Ainsi :
m=−3m=-3 ou m=3m=3

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