Devoir type n°1 (1 h) - Exercice 3

15 min
25
COMPETENCES‾  :  Calculer{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer}
Barème : 6 points
Question 1

Factoriser z3−27z^{3}-27 par z−3z-3 .

Correction
Soit z∈Cz\in \mathbb{C} et aa un nombre complexe. Soit nn un entier naturel non nul.
zn−an=(z−a)(zn−1+azn−2+a2zn−3+…+an−2z+an−1)z^{n} -a^{n} =\left(z-a\right)\left(z^{n-1} +az^{n-2} +a^{2} z^{n-3} +\ldots +a^{n-2} z+a^{n-1} \right)
27=3327=3^{3} donc z3−27=z3−33z^{3}-27=z^{3}-3^{3} et, avec a=3a=3 et n=3n=3 :
z3−27=(z−3)(z2+3z+9)z^{3}-27=\left(z-3\right)\left(z^{2}+3z+9\right)

Question 2

Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation z3=27z^{3}=27 .

Correction
z3=27z^{3}=27 équivaut à (z−3)(z2+3z+9)=0\left(z-3\right)\left(z^{2}+3z+9\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
z=3z=3 ou z2+3z+9=0z^{2}+3z+9=0 ; pour cette dernière, Δ=9−36=−27\Delta =9-36=-27 et 27=33\sqrt{27}=3\sqrt{3} .
Les solutions sont donc :
S={3;−3−3i32;−3+3i32}S=\left\{3;\dfrac{-3-3i\sqrt{3}}{2};\dfrac{-3+3i\sqrt{3}}{2}\right\}

Question 3

Vrai ou faux : « les trois solutions de l'équation z3=27z^{3}=27 ont le même module ». Justifier.

Correction
∣3∣=3\left|3\right|=3 et ∣−3±3i32∣=94+274=9=3\left|\dfrac{-3\pm 3i\sqrt{3}}{2}\right|=\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{27}{4}}=\sqrt{9}=3 .
L’affirmation est vraie\purple{\text{L'affirmation est vraie}} :
les trois solutions ont pour module 33

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.