Devoir type n°1 (1 h) - Exercice 2

25 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Calculer.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer.}     \;\; 2°)  Raisonner.{\color{red}2°)\;Raisonner.}
On considère le polynôme P(z)=z3−5z2+11z−15P\left(z\right)=z^{3}-5z^{2}+11z-15 .
Barème : 8 points
Question 1

Calculer P(3)P\left(3\right) .

Correction
P(3)=33−5×32+11×3−15=27−45+33−15P\left(3\right)=3^{3}-5\times 3^{2}+11\times 3-15=27-45+33-15
Ainsi :
P(3)=0P\left(3\right)=0

Question 2

Déterminer les réels aa , bb et cc tels que, pour tout nombre complexe zz , P(z)=(z−3)(az2+bz+c)P\left(z\right)=\left(z-3\right)\left(az^{2}+bz+c\right) .

Correction
    Soit PP un polynôme de degré nn et AA un nombre complexe tel que P(A)=0P\left(A\right)=0, c'est-à-dire que AA est une racine de PP.
Alors pour tout nombre complexe zz, on peut factoriser\red{\text{factoriser}} PP sous la forme : P(z)=(z−A)Q(z)P\left(z\right)=\left(z-A\right)Q\left(z\right) où QQ est un polynôme de degreˊ au plus \blue{\text{de degré au plus }} n−1\blue{n-1} .
(z−3)(az2+bz+c)=az3+(b−3a)z2+(c−3b)z−3c\left(z-3\right)\left(az^{2}+bz+c\right)=az^{3}+\left(b-3a\right)z^{2}+\left(c-3b\right)z-3c
Par identification : a=1a=1 ; b−3=−5b-3=-5 donc b=−2b=-2 ; c+6=11c+6=11 donc c=5c=5 ; et on vérifie que −3c=−15-3c=-15 .
Finalement :
P(z)=(z−3)(z2−2z+5)P\left(z\right)=\left(z-3\right)\left(z^{2}-2z+5\right)

Question 3

Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation P(z)=0P\left(z\right)=0 .

Correction
(z−3)(z2−2z+5)=0\left(z-3\right)\left(z^{2}-2z+5\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
D’une part :\red{\text{D'une part :}} z−3=0z-3=0 ce qui donne z=3z=3
D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} z2−2z+5=0z^{2}-2z+5=0 : Δ=4−20=−16\Delta =4-20=-16 , donc z1=2−4i2=1−2iz_{1}=\dfrac{2-4i}{2}=1-2i et z2=2+4i2=1+2iz_{2}=\dfrac{2+4i}{2}=1+2i
Les solutions de l'équation sont donc :
S={3;1−2i;1+2i}S=\left\{3;1-2i;1+2i\right\}

Question 4

On note AA , BB et CC les points d'affixes respectives 33 , 1+2i1+2i et 1−2i1-2i . Démontrer que le triangle ABCABC est rectangle isocèle en AA .

Correction
    Soient AA et BB deux points d'affixe respective zAz_A et zBz_B .
  • La distance\red{\text{distance}} ABAB est égale à AB=∣zB−zA∣=∣zA−zB∣AB=\left|z_{B} -z_{A} \right|=\left|z_{A} -z_{B} \right|
    • AB=∣1+2i−3∣=∣−2+2i∣=4+4=22AB=\left|1+2i-3\right|=\left|-2+2i\right|=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}
    AC=∣1−2i−3∣=∣−2−2i∣=4+4=22AC=\left|1-2i-3\right|=\left|-2-2i\right|=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}
    BC=∣1−2i−(1+2i)∣=∣−4i∣=4BC=\left|1-2i-\left(1+2i\right)\right|=\left|-4i\right|=4
    AB2+AC2=8+8=16=BC2AB^{2}+AC^{2}=8+8=16=BC^{2} : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en AA , et AB=ACAB=AC .
    Ainsi :
    ABCABC est rectangle isocèle en AA

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