Devoir type n°1 (1 h) - Exercice 1

15 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Calculer.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer.}     \;\; 2°)  Repreˊsenter.{\color{red}2°)\;Représenter.}
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) .
Barème : 6 points
Question 1

Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation z2−6z+13=0z^{2}-6z+13=0 .

Correction
Lorsque nous devons résoudre une équation qui fait intervenir du z2z^{2} , on utilisera le discriminant.
  • Pour les cas Δ>0\Delta >0 et Δ=0\Delta =0, on effectuera la même démarche vue en classe de première.
  • Cependant pour Δ<0\Delta <0, il y aura deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} telles que
    z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a}

    et
    z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}

    • Δ=(−6)2−4×1×13=36−52=−16\Delta =\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 13=36-52=-16 , il existe donc deux racines complexes conjuguées :
    z1=6−i162=3−2iz_{1}=\dfrac{6-i\sqrt{16}}{2}=3-2i et z2=6+i162=3+2iz_{2}=\dfrac{6+i\sqrt{16}}{2}=3+2i
    Les solutions de l'équation sont donc :
    S={3−2i;3+2i}S=\left\{3-2i;3+2i\right\}

    Question 2

    On note AA et BB les points d'affixes respectives 3+2i3+2i et 3−2i3-2i . Démontrer que le triangle OABOAB est isocèle en OO et calculer ABAB .

    Correction
      Soient AA et BB deux points d'affixe respective zAz_A et zBz_B .
  • La distance\red{\text{distance}} ABAB est égale à AB=∣zB−zA∣=∣zA−zB∣AB=\left|z_{B} -z_{A} \right|=\left|z_{A} -z_{B} \right|
    • OA=∣3+2i∣=9+4=13OA=\left|3+2i\right|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13} et OB=∣3−2i∣=9+4=13OB=\left|3-2i\right|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13} :
    OA=OBOA=OB donc OABOAB est isocèle en OO

    AB=∣zB−zA∣=∣3−2i−3−2i∣=∣−4i∣AB=\left|z_{B}-z_{A}\right|=\left|3-2i-3-2i\right|=\left|-4i\right| d'où
    AB=4AB=4

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