Démontrer les résultats du cours sur les polynômes - Exercice 3

$$\blue{\text{Initialisation :}}$$ pour $$n=1$$ , un polynôme de degré $$1$$ s'écrit $$P\left(z\right)=az+b$$ avec $$a\ne 0$$ .
$$az+b=0$$ équivaut à $$z=-\dfrac{b}{a}$$ : l'équation a une seule solution. Donc $$\mathcal{P}\left(1\right)$$ est vraie.
$$\blue{\text{Hérédité :}}$$ soit $$n\ge 1$$ un entier tel que $$\mathcal{P}\left(n\right)$$ est vraie, et soit $$P$$ un polynôme de degré $$n+1$$ .
• Si $$P$$ n'a aucune racine, il en a bien au plus $$n+1$$ .
• Sinon, soit $$a$$ une racine de $$P$$ . D'après l'exercice 2, il existe un polynôme $$Q$$ de degré $$n$$ tel que, pour tout $$z$$ , $$P\left(z\right)=\left(z-a\right)Q\left(z\right)$$ .
$$P\left(z\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$\left(z-a\right)Q\left(z\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
$$z=a$$ ou $$Q\left(z\right)=0$$
Par hypothèse de récurrence, l'équation $$Q\left(z\right)=0$$ a au plus $$n$$ solutions. Donc $$P$$ a au plus $$n+1$$ racines : $$\mathcal{P}\left(n+1\right)$$ est vraie.
$$\blue{\text{Conclusion :}}$$ la propriété est vraie au rang $$1$$ et elle est héréditaire, donc pour tout entier $$n\ge 1$$ :

Raisonnons par l'absurde et supposons que $$P$$ n'est pas le polynôme nul.
• Si $$P$$ est une constante non nulle, il n'a aucune racine, ce qui contredit $$P\left(1\right)=0$$ .
• Sinon $$P$$ est de degré $$1$$ ou $$2$$ : d'après la question précédente, il a au plus $$2$$ racines, ce qui contredit le fait que $$1$$ , $$2$$ et $$3$$ sont trois racines distinctes de $$P$$ .
Dans les deux cas, on aboutit à une contradiction.
Ainsi :

$$P\left(1\right)=1^{3}-3\times 1^{2}+4\times 1-2=1-3+4-2=0$$ donc $$1$$ est une racine de $$P$$ .
On peut alors écrire $$P\left(z\right)=\left(z-1\right)\left(az^{2}+bz+c\right)$$ .
$$\left(z-1\right)\left(az^{2}+bz+c\right)=az^{3}+bz^{2}+cz-az^{2}-bz-c=az^{3}+\left(b-a\right)z^{2}+\left(c-b\right)z-c$$
Par identification : $$a=1$$ , $$b-a=-3$$ donc $$b=-2$$ , $$c-b=4$$ donc $$c=2$$ , et on vérifie que $$-c=-2$$ .
Ainsi $$P\left(z\right)=\left(z-1\right)\left(z^{2}-2z+2\right)$$ .
Pour $$z^{2}-2z+2=0$$ : $$\Delta =\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 2=-4$$ , il existe donc deux racines complexes conjuguées :
$$z_{1}=\dfrac{2-i\sqrt{4}}{2}=1-i$$ et $$z_{2}=\dfrac{2+i\sqrt{4}}{2}=1+i$$
Les racines de $$P$$ sont donc :
$$P$$ a exactement $$3$$ racines : autant que son degré, ce qui est le maximum possible.