Démontrer les résultats du cours sur les polynômes - Exercice 2

25 min
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COMPETENCES‾  :  Raisonner{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Raisonner}
Soit P(z)=cnzn+cn−1zn−1+…+c1z+c0P\left(z\right)=c_{n}z^{n}+c_{n-1}z^{n-1}+\ldots +c_{1}z+c_{0} un polynôme de degré n≥1n\ge 1 (donc cn≠0c_{n}\ne 0) et aa un nombre complexe.
Question 1

Démontrer que, pour tout nombre complexe zz : P(z)−P(a)=cn(zn−an)+cn−1(zn−1−an−1)+…+c1(z−a)P\left(z\right)-P\left(a\right)=c_{n}\left(z^{n}-a^{n}\right)+c_{n-1}\left(z^{n-1}-a^{n-1}\right)+\ldots +c_{1}\left(z-a\right) .

Correction
On écrit P(z)P\left(z\right) et P(a)P\left(a\right) l'un sous l'autre :
P(z)=cnzn+cn−1zn−1+…+c1z+c0P\left(z\right)=c_{n}z^{n}+c_{n-1}z^{n-1}+\ldots +c_{1}z+c_{0}
P(a)=cnan+cn−1an−1+…+c1a+c0P\left(a\right)=c_{n}a^{n}+c_{n-1}a^{n-1}+\ldots +c_{1}a+c_{0}
On soustrait terme à terme : les constantes c0c_{0} s'éliminent et on regroupe les termes qui ont le même coefficient.
Ainsi :
P(z)−P(a)=cn(zn−an)+cn−1(zn−1−an−1)+…+c1(z−a)P\left(z\right)-P\left(a\right)=c_{n}\left(z^{n}-a^{n}\right)+c_{n-1}\left(z^{n-1}-a^{n-1}\right)+\ldots +c_{1}\left(z-a\right)

Question 2

En déduire qu'il existe un polynôme QQ de degré n−1n-1 tel que, pour tout nombre complexe zz : P(z)−P(a)=(z−a)Q(z)P\left(z\right)-P\left(a\right)=\left(z-a\right)Q\left(z\right) .

Correction
    Soient AA un nombre complexe et nn un entier naturel non nul.
Alors pour tout nombre complexe zz, on peut factoriser\red{\text{factoriser}} zn−Anz^{n} -A^{n} sous la forme : zn−An=(z−A)Q(z)z^{n} -A^{n}=\left(z-A\right)Q\left(z\right) où QQ est un polynôme de degreˊ au plus \blue{\text{de degré au plus }} n−1\blue{n-1} .
D'après l'exercice 1, pour tout entier kk compris entre 11 et nn , on peut écrire zk−ak=(z−a)Qk(z)z^{k}-a^{k}=\left(z-a\right)Q_{k}\left(z\right) où Qk(z)=zk−1+azk−2+…+ak−1Q_{k}\left(z\right)=z^{k-1}+az^{k-2}+\ldots +a^{k-1} est un polynôme de degré k−1k-1 (avec Q1(z)=1Q_{1}\left(z\right)=1).
On factorise alors z−az-a dans chaque terme de la question 1 :
P(z)−P(a)=(z−a)(cnQn(z)+cn−1Qn−1(z)+…+c1Q1(z))P\left(z\right)-P\left(a\right)=\left(z-a\right)\left(c_{n}Q_{n}\left(z\right)+c_{n-1}Q_{n-1}\left(z\right)+\ldots +c_{1}Q_{1}\left(z\right)\right)
On pose Q(z)=cnQn(z)+cn−1Qn−1(z)+…+c1Q1(z)Q\left(z\right)=c_{n}Q_{n}\left(z\right)+c_{n-1}Q_{n-1}\left(z\right)+\ldots +c_{1}Q_{1}\left(z\right) .
Seul cnQn(z)c_{n}Q_{n}\left(z\right) contient un terme de degré n−1n-1 , à savoir cnzn−1c_{n}z^{n-1} avec cn≠0c_{n}\ne 0 : QQ est donc un polynôme de degré n−1n-1 .
Ainsi :
P(z)−P(a)=(z−a)Q(z)P\left(z\right)-P\left(a\right)=\left(z-a\right)Q\left(z\right)

Question 3

Conclure : démontrer que si P(a)=0P\left(a\right)=0 , alors PP se factorise par z−az-a .

Correction
Si P(a)=0P\left(a\right)=0 , l'égalité de la question précédente devient, pour tout nombre complexe zz :
P(z)=(z−a)Q(z)P\left(z\right)=\left(z-a\right)Q\left(z\right)

où QQ est un polynôme de degré n−1n-1 . C'est le résultat du cours qui permet de factoriser un polynôme dont on connaît une racine.

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