Démontrer les résultats du cours sur les polynômes - Exercice 1

On note $$Q\left(z\right)=z^{n-1}+az^{n-2}+a^{2}z^{n-3}+\ldots +a^{n-2}z+a^{n-1}$$ . Nous allons développer le produit $$\left(z-a\right)Q\left(z\right)=z\times Q\left(z\right)-a\times Q\left(z\right)$$ .
$$\red{\text{D'une part :}}$$ $$z\times Q\left(z\right)=z^{n}+az^{n-1}+a^{2}z^{n-2}+\ldots +a^{n-2}z^{2}+a^{n-1}z$$
$$\red{\text{D'autre part :}}$$ $$a\times Q\left(z\right)=az^{n-1}+a^{2}z^{n-2}+\ldots +a^{n-2}z^{2}+a^{n-1}z+a^{n}$$
Quand on soustrait la deuxième ligne à la première, les termes $$az^{n-1}$$ , $$a^{2}z^{n-2}$$ , … , $$a^{n-1}z$$ apparaissent une fois avec le signe $$+$$ et une fois avec le signe $$-$$ : ils s'éliminent deux à deux. Il ne reste que le premier terme de la première ligne et le dernier terme de la deuxième ligne.
Ainsi :
Le deuxième facteur est un polynôme de degré $$n-1$$ .

On remarque que $$32=2^{5}$$ , donc $$z^{5}-32=z^{5}-2^{5}$$ .
D'après la question précédente avec $$a=2$$ et $$n=5$$ :
$$z^{5}-2^{5}=\left(z-2\right)\left(z^{4}+2z^{3}+2^{2}z^{2}+2^{3}z+2^{4}\right)$$
Finalement :

Avec $$z=q$$ et $$a=1$$ , la question 1 donne :
$$q^{n}-1^{n}=\left(q-1\right)\left(q^{n-1}+q^{n-2}+\ldots +q+1\right)$$
Comme $$q\ne 1$$ , on peut diviser les deux membres par $$q-1\ne 0$$ :

On retrouve la somme des $$n$$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $$1$$ et de raison $$q$$ .

La somme $$S$$ contient $$8$$ termes ; on applique la question précédente avec $$q=i\ne 1$$ et $$n=8$$ :
$$S=\dfrac{i^{8}-1}{i-1}$$
Or $$i^{8}=\left(i^{4}\right)^{2}=1^{2}=1$$ .
Donc $$S=\dfrac{1-1}{i-1}$$ ce qui donne