Restes des puissances : la périodicité - Exercice 3

20 min
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Chiffre des unités et derniers chiffres d'une grande puissance.
Question 1

Déterminer le chiffre des unités de 720267^{2026}.

Correction
Le chiffre des unités d'un entier naturel NN est le reste de la division euclidienne de NN par 1010 ; les deux derniers chiffres de NN forment le reste de la division euclidienne de NN par 100100.
Cherchons les restes des puissances de 77 modulo 1010 :
71≡7[10]7^{1}\equiv 7\left[10\right] ; 72=49≡9[10]7^{2}=49\equiv 9\left[10\right] ; 73≡9×7≡63≡3[10]7^{3}\equiv 9\times 7\equiv 63\equiv 3\left[10\right] ; 74≡3×7≡21≡1[10]7^{4}\equiv 3\times 7\equiv 21\equiv 1\left[10\right].
Les restes se répètent avec une période de 44. Or 2026=4×506+22026=4\times 506+2, donc :
72026=(74)506×72≡1506×49≡9[10]7^{2026}=\left(7^{4}\right)^{506}\times 7^{2}\equiv 1^{506}\times 49\equiv 9\left[10\right]
Le chiffre des unités de 720267^{2026} est
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Question 2

Déterminer le chiffre des unités de 32026+720263^{2026}+7^{2026}.

Correction
Soient mm un entier naturel (m≥2)\left(m \geq 2\right), aa, bb, cc et dd des entiers relatifs vérifiant : a≡b[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] et c≡d[m]\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right].
  • a+c≡b+d[m]\red{a}+\blue{c} \equiv \red{b}+\blue{d}\left[m\right]
  • a×c≡b×d[m]\red{a}\times\blue{c} \equiv \red{b}\times\blue{d}\left[m\right]
  • Pour tout entier naturel kk : ak≡bk[m]\red{a}^{k} \equiv \red{b}^{k}\left[m\right]
    • D’une part :\red{\text{D'une part :}} 31≡33^{1}\equiv 3 ; 32≡93^{2}\equiv 9 ; 33=27≡73^{3}=27\equiv 7 ; 34=81≡1[10]3^{4}=81\equiv 1\left[10\right]. Comme 2026=4×506+22026=4\times 506+2 :
    32026=(34)506×32≡9[10]3^{2026}=\left(3^{4}\right)^{506}\times 3^{2}\equiv 9\left[10\right]
    D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} d'après la question 1, 72026≡9[10]7^{2026}\equiv 9\left[10\right].
    Ainsi : 32026+72026≡9+9≡18≡8[10]3^{2026}+7^{2026}\equiv 9+9\equiv 18\equiv 8\left[10\right]
    Le chiffre des unités de 32026+720263^{2026}+7^{2026} est
    88
    Question 3

    Vérifier que 74≡1[100]7^{4}\equiv 1\left[100\right], puis déterminer les deux derniers chiffres de 71007^{100}.

    Correction
    Le chiffre des unités d'un entier naturel NN est le reste de la division euclidienne de NN par 1010 ; les deux derniers chiffres de NN forment le reste de la division euclidienne de NN par 100100.
    74=2  401=100×24+17^{4}=2\;401=100\times 24+1, donc
    74≡1[100]7^{4}\equiv 1\left[100\right]

    Or 100=4×25100=4\times 25, donc :
    7100=(74)25≡125≡1[100]7^{100}=\left(7^{4}\right)^{25}\equiv 1^{25}\equiv 1\left[100\right]
    Le reste de la division euclidienne de 71007^{100} par 100100 est 11 : les deux derniers chiffres de 71007^{100} sont
    00 et 11

    (son écriture se termine par …01\ldots 01).

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