Restes des puissances : la périodicité - Exercice 2

25 min
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Pour tout entier naturel nn, on pose An=4n+42n+1A_{n}=4^{n}+4^{2n}+1.
Question 1

Déterminer, selon les valeurs de nn, le reste de la division euclidienne de 4n4^{n} par 77.

Correction
Tout entier naturel nn s'écrit sous l'une des formes suivantes, où kk est un entier naturel : ce sont les restes possibles de la division euclidienne de nn par 33.
  • n=3kn=3k ; n=3k+1n=3k+1 ; n=3k+2n=3k+2
    • Soient mm un entier naturel (m≥2)\left(m \geq 2\right), aa, bb, cc et dd des entiers relatifs vérifiant : a≡b[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] et c≡d[m]\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right].
  • a+c≡b+d[m]\red{a}+\blue{c} \equiv \red{b}+\blue{d}\left[m\right]
  • a×c≡b×d[m]\red{a}\times\blue{c} \equiv \red{b}\times\blue{d}\left[m\right]
  • Pour tout entier naturel kk : ak≡bk[m]\red{a}^{k} \equiv \red{b}^{k}\left[m\right]
    • 41=44^{1}=4 ; 42=16=7×2+24^{2}=16=7\times 2+2 donc 42≡2[7]4^{2}\equiv 2\left[7\right] ; 43=64=7×9+14^{3}=64=7\times 9+1 donc
    43≡1[7]4^{3}\equiv 1\left[7\right]

    D’une part :\red{\text{D'une part :}} si n=3kn=3k : 43k=(43)k≡1k≡1[7]4^{3k}=\left(4^{3}\right)^{k}\equiv 1^{k}\equiv 1\left[7\right].
    D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} si n=3k+1n=3k+1 : 43k+1=43k×4≡4[7]4^{3k+1}=4^{3k}\times 4\equiv 4\left[7\right].
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} si n=3k+2n=3k+2 : 43k+2=43k×42≡2[7]4^{3k+2}=4^{3k}\times 4^{2}\equiv 2\left[7\right].
    Finalement :\purple{\text{Finalement :}} le reste de 4n4^{n} par 77 vaut 11, 44 ou 22 selon que nn est de la forme 3k3k, 3k+13k+1 ou 3k+23k+2.
    Question 2

    En déduire que AnA_{n} est divisible par 77 si et seulement si nn n'est pas un multiple de 33.

    Correction
    Soient mm un entier naturel (m≥2)\left(m \geq 2\right), aa, bb, cc et dd des entiers relatifs vérifiant : a≡b[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] et c≡d[m]\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right].
  • a+c≡b+d[m]\red{a}+\blue{c} \equiv \red{b}+\blue{d}\left[m\right]
  • a×c≡b×d[m]\red{a}\times\blue{c} \equiv \red{b}\times\blue{d}\left[m\right]
  • Pour tout entier naturel kk : ak≡bk[m]\red{a}^{k} \equiv \red{b}^{k}\left[m\right]
    • Remarquons que 42n=(4n)24^{2n}=\left(4^{n}\right)^{2} : on obtient ses restes en élevant au carré ceux de 4n4^{n} (12=11^{2}=1 ; 42=16≡24^{2}=16\equiv 2 ; 22=42^{2}=4).
    Nous allons nous aider d'un tableau de congruences.
    Lecture du tableau :\red{\text{Lecture du tableau :}}
  • si n=3kn=3k : An≡1+1+1≡3[7]A_{n}\equiv 1+1+1\equiv 3\left[7\right], donc AnA_{n} n'est pas divisible par 77 ;
  • si n=3k+1n=3k+1 : An≡4+2+1≡7≡0[7]A_{n}\equiv 4+2+1\equiv 7\equiv 0\left[7\right] ;
  • si n=3k+2n=3k+2 : An≡2+4+1≡7≡0[7]A_{n}\equiv 2+4+1\equiv 7\equiv 0\left[7\right].
    • Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
    AnA_{n} est divisible par 77 si et seulement si nn n'est pas un multiple de 33
    Question 3

    Le nombre A2026A_{2026} est-il divisible par 77 ?

    Correction
    2026=3×675+12026=3\times 675+1 : 20262026 n'est pas un multiple de 33.
    D'après la question précédente,
    A2026A_{2026} est divisible par 77

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