Restes des puissances : la périodicité - Exercice 1

25 min
40
On s'intéresse aux restes de la division euclidienne de 2n2^{n} par 77, où nn est un entier naturel.
Question 1

Calculer les restes de 202^{0}, 212^{1}, 222^{2} et 232^{3} dans la division euclidienne par 77.

Correction
Soit mm un entier naturel (m≥2)\left(m \geq 2\right).
  • a≡b[m]a\equiv b\left[m\right] si et seulement si aa et bb ont le même reste dans la division euclidienne par mm, c'est-à-dire si et seulement si mm divise a−ba-b.
  • Si a≡r[m]a\equiv \pink{r}\left[m\right] avec 0≤r<m0\le \pink{r}\lt m, alors r\pink{r} est le reste de la division euclidienne de aa par mm.
    • 20=1=7×0+12^{0}=1=7\times 0+1 donc 20≡1[7]2^{0}\equiv 1\left[7\right]
    21=2=7×0+22^{1}=2=7\times 0+2 donc 21≡2[7]2^{1}\equiv 2\left[7\right]
    22=4=7×0+42^{2}=4=7\times 0+4 donc 22≡4[7]2^{2}\equiv 4\left[7\right]
    23=8=7×1+12^{3}=8=7\times 1+1 donc
    23≡1[7]2^{3}\equiv 1\left[7\right]

    On retrouve le reste 11 : les restes 11, 22, 44 vont se répéter.
    Question 2

    En déduire, selon les valeurs de nn, le reste de la division euclidienne de 2n2^{n} par 77.

    Correction
    Tout entier naturel nn s'écrit sous l'une des formes suivantes, où kk est un entier naturel : ce sont les restes possibles de la division euclidienne de nn par 33.
  • n=3kn=3k ; n=3k+1n=3k+1 ; n=3k+2n=3k+2
    • Soient mm un entier naturel (m≥2)\left(m \geq 2\right), aa, bb, cc et dd des entiers relatifs vérifiant : a≡b[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] et c≡d[m]\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right].
  • a+c≡b+d[m]\red{a}+\blue{c} \equiv \red{b}+\blue{d}\left[m\right]
  • a×c≡b×d[m]\red{a}\times\blue{c} \equiv \red{b}\times\blue{d}\left[m\right]
  • Pour tout entier naturel kk : ak≡bk[m]\red{a}^{k} \equiv \red{b}^{k}\left[m\right]
    • D’une part :\red{\text{D'une part :}} si n=3kn=3k, alors 2n=23k=(23)k2^{n}=2^{3k}=\left(2^{3}\right)^{k}. Comme 23≡1[7]2^{3}\equiv 1\left[7\right] : 23k≡1k≡1[7]2^{3k}\equiv 1^{k}\equiv 1\left[7\right].
    D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} si n=3k+1n=3k+1, alors 2n=23k×2≡1×2≡2[7]2^{n}=2^{3k}\times 2\equiv 1\times 2\equiv 2\left[7\right].
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} si n=3k+2n=3k+2, alors 2n=23k×22≡1×4≡4[7]2^{n}=2^{3k}\times 2^{2}\equiv 1\times 4\equiv 4\left[7\right].
    Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
    le reste de 2n2^{n} par 77 vaut 11 si n=3kn=3k ; 22 si n=3k+1n=3k+1 ; 44 si n=3k+2n=3k+2

    On dit que la suite des restes est périodique, de période 33.
    Question 3

    Déterminer le reste de la division euclidienne de 220262^{2026} par 77.

    Correction
    On effectue la division euclidienne de 20262026 par 33 : 2026=3×675+12026=3\times 675+1.
    20262026 est donc de la forme 3k+13k+1 (avec k=675k=675). D'après la question précédente :
    22026=(23)675×2≡1×2≡2[7]2^{2026}=\left(2^{3}\right)^{675}\times 2\equiv 1\times 2\equiv 2\left[7\right]
    Le reste de la division euclidienne de 220262^{2026} par 77 est
    2\pink{2}
    Question 4

    Déterminer les entiers naturels nn tels que 2n−12^{n}-1 soit divisible par 77.

    Correction
    2n−12^{n}-1 est divisible par 77 si et seulement si 2n−1≡0[7]2^{n}-1\equiv 0\left[7\right], c'est-à-dire si et seulement si 2n≡1[7]2^{n}\equiv 1\left[7\right].
    D'après la question 2, cela se produit si et seulement si nn est de la forme 3k3k.
    Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
    2n−12^{n}-1 est divisible par 77 si et seulement si nn est un multiple de 33
    Question 5

    Montrer que, pour tout entier naturel nn, 2n+12^{n}+1 n'est jamais divisible par 77.

    Correction
    Nous allons nous aider d'un tableau de congruences, construit à partir de la question 2.
    Lecture du tableau :\red{\text{Lecture du tableau :}} 2n+12^{n}+1 est congru à 22, 33 ou 55 modulo 77, jamais à 00.
    Il en résulte donc que, pour tout entier naturel nn,
    2n+12^{n}+1 n'est pas divisible par 77

    Signaler une erreur

    Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

    Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.