Résoudre des congruences et des équations modulo n - Exercice 4

25 min
45
Utiliser les congruences pour montrer qu'une équation n'a pas de solution entière.
Question 1

Déterminer les restes possibles de x2x^{2} dans la division euclidienne par 33, où xx est un entier relatif.

Correction
Nous allons nous aider d'un tableau de congruences.
Lecture du tableau :\red{\text{Lecture du tableau :}}
x2≡0[3]x^{2}\equiv 0\left[3\right] ou x2≡1[3]x^{2}\equiv 1\left[3\right]

Un carré n'est jamais congru à 22 modulo 33.
Question 2

En déduire que l'équation x2−3y2=2x^{2}-3y^{2}=2 n'admet aucun couple solution (x;y)\left(x;y\right) d'entiers relatifs.

Correction
Raisonnons par l’absurde :\red{\text{Raisonnons par l'absurde :}} supposons qu'il existe des entiers xx et yy tels que x2−3y2=2x^{2}-3y^{2}=2.
Alors x2=2+3y2x^{2}=2+3y^{2}, donc x2≡2[3]x^{2}\equiv 2\left[3\right] (car 3y2≡0[3]3y^{2}\equiv 0\left[3\right]).
C'est impossible d'après la question 1.
L'équation x2−3y2=2x^{2}-3y^{2}=2 n'a pas de solution entière.
Question 3

Montrer qu'un carré est toujours congru à 00 ou à 11 modulo 44. En déduire que 2  0272\;027 n'est pas la somme de deux carrés d'entiers.

Correction
Si xx est pair, x=2kx=2k et x2=4k2≡0[4]x^{2}=4k^{2}\equiv 0\left[4\right]. Si xx est impair, x=2k+1x=2k+1 et x2=4k2+4k+1≡1[4]x^{2}=4k^{2}+4k+1\equiv 1\left[4\right].
Un carré est donc congru à 00 ou à 11 modulo 44, et la somme de deux carrés est congrue à 00, 11 ou 22 modulo 44 :
Or 2  027=4×506+32\;027=4\times 506+3, donc 2  027≡3[4]2\;027\equiv 3\left[4\right].
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
2  0272\;027 n'est pas la somme de deux carrés d'entiers

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.