Résoudre des congruences et des équations modulo n - Exercice 2

20 min
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Résoudre dans Z\mathbb{Z} les congruences suivantes.
Question 1

4x≡2[6]4x\equiv 2\left[6\right]

Correction
Nous allons nous aider d'un tableau de congruences modulo 66.
Lecture du tableau :\red{\text{Lecture du tableau :}} 4x≡2[6]4x\equiv 2\left[6\right] se réalise lorsque x≡2[6]x\equiv 2\left[6\right] ou x≡5[6]x\equiv 5\left[6\right] : il y a deux restes solutions.
Les solutions sont les entiers x=2+6kx=2+6k ou x=5+6kx=5+6k où k∈Zk\in \mathbb{Z}, c'est-à-dire
x=2+3k′x=2+3k' où k′∈Zk'\in \mathbb{Z}
Question 2

2x≡3[4]2x\equiv 3\left[4\right]

Correction
Nous allons nous aider d'un tableau de congruences modulo 44.
Lecture du tableau :\red{\text{Lecture du tableau :}} 2x2x n'est jamais congru à 33 modulo 44.
On peut aussi le démontrer : si 2x≡3[4]2x\equiv 3\left[4\right], il existe un entier kk tel que 2x−3=4k2x-3=4k, c'est-à-dire 2(x−2k)=32\left(x-2k\right)=3 : un nombre pair serait égal à 33, ce qui est impossible.
La congruence 2x≡3[4]2x\equiv 3\left[4\right] n'a pas de solution.
Question 3

5x+2≡4[9]5x+2\equiv 4\left[9\right]

Correction
Soient mm un entier naturel (m≥2)\left(m \geq 2\right), aa, bb, cc et dd des entiers relatifs vérifiant : a≡b[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] et c≡d[m]\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right].
  • a+c≡b+d[m]\red{a}+\blue{c} \equiv \red{b}+\blue{d}\left[m\right]
  • a×c≡b×d[m]\red{a}\times\blue{c} \equiv \red{b}\times\blue{d}\left[m\right]
  • Pour tout entier naturel kk : ak≡bk[m]\red{a}^{k} \equiv \red{b}^{k}\left[m\right]
    • 5x+2≡4[9]5x+2\equiv 4\left[9\right] équivaut successivement à :
    5x≡2[9]5x\equiv 2\left[9\right]
    Or 5×2=10≡1[9]5\times 2=10\equiv 1\left[9\right] : 22 est un inverse de 55 modulo 99. En multipliant par 22 :
    10x≡4[9]10x\equiv 4\left[9\right]
    x≡4[9]x\equiv 4\left[9\right]
    Reˊciproquement,\red{\text{Réciproquement,}} si x≡4[9]x\equiv 4\left[9\right], alors 5x+2≡22≡4[9]5x+2\equiv 22\equiv 4\left[9\right].
    Les solutions sont les entiers
    x=4+9kx=4+9k où k∈Zk\in \mathbb{Z}

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