Résoudre des congruences et des équations modulo n - Exercice 1

15 min
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On souhaite résoudre dans Z\mathbb{Z} la congruence 3x≡5[7]3x\equiv 5\left[7\right].
Question 1

Résoudre cette congruence à l'aide d'un tableau de congruences modulo 77.

Correction
Nous allons nous aider d'un tableau de congruences.
Lecture du tableau :\red{\text{Lecture du tableau :}} 3x≡5[7]3x\equiv 5\left[7\right] se réalise seulement lorsque x≡4[7]x\equiv 4\left[7\right].
Finalement :\purple{\text{Finalement :}} les solutions sont les entiers
x=4+7kx=4+7k où k∈Zk\in \mathbb{Z}
Question 2

Vérifier que 3×5≡1[7]3\times 5\equiv 1\left[7\right], puis retrouver le résultat en multipliant les deux membres de la congruence par 55.

Correction
Soient mm un entier naturel (m≥2)\left(m \geq 2\right), aa, bb, cc et dd des entiers relatifs vérifiant : a≡b[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] et c≡d[m]\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right].
  • a+c≡b+d[m]\red{a}+\blue{c} \equiv \red{b}+\blue{d}\left[m\right]
  • a×c≡b×d[m]\red{a}\times\blue{c} \equiv \red{b}\times\blue{d}\left[m\right]
  • Pour tout entier naturel kk : ak≡bk[m]\red{a}^{k} \equiv \red{b}^{k}\left[m\right]
    • 3×5=15=7×2+13\times 5=15=7\times 2+1, donc 3×5≡1[7]3\times 5\equiv 1\left[7\right] : on dit que 55 est un inverse de 33 modulo 77.
    Si 3x≡5[7]3x\equiv 5\left[7\right], alors en multipliant par 55 :
    15x≡25[7]15x\equiv 25\left[7\right]
    1×x≡4[7]1\times x\equiv 4\left[7\right] car 15≡115\equiv 1 et 25=7×3+425=7\times 3+4
    x≡4[7]x\equiv 4\left[7\right]
    Reˊciproquement,\red{\text{Réciproquement,}} si x≡4[7]x\equiv 4\left[7\right], alors 3x≡12≡5[7]3x\equiv 12\equiv 5\left[7\right].
    On retrouve :
    3x≡5[7]3x\equiv 5\left[7\right] si et seulement si x≡4[7]x\equiv 4\left[7\right]

    La recherche d'un inverse dans le cas général est étudiée dans le chapitre « PGCD, théorèmes de Bezout et Gauss ».

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