Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et congruences

Montrer une divisibilité à l'aide des congruences - Exercice 3

10 min
20
Question 1

Montrer que pour tout entier naturel nn non nul, 2n+4+33n+22^{n+4}+3^{3n+2} est un multiple de 55 .

Correction
    Soient mm un entier naturel (m>2)\left(m > 2\right), aa,bb,cc et dd des entiers relatifs vérifiant : a≡b[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] et c≡d[m]\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right].
  • a×c≡b×d[m]\red{a}\times\blue{c} \equiv \red{b}\times\blue{d}\left[m\right]
  • a+c≡b+d[m]\red{a}+\blue{c} \equiv \red{b}+\blue{d}\left[m\right]
  • Pour tout réel k\blue{k} , on a alors : ak≡bk[m]\red{a}^{\blue{k}} \equiv \red{b}^{\blue{k}}\left[m\right]
    • Nous pouvons écrire :
    2n+42^{n+4} sous la forme 2n×242^{n}\times2^{4} et 33n+23^{3n+2} sous la forme 33n×323^{3n}\times3^{2}
  • Dans un premier temps :\blue{\text{Dans un premier temps :}}
    • 24≡16[5]⇒24≡1[5]2^{4} \equiv 16\left[5\right]\Rightarrow 2^{4} \equiv 1\left[5\right] car 16=5×3+116=5\times3 +1
    2≡2[5]⇒2n≡2n[5]2\equiv 2\left[5\right]\Rightarrow 2^{n} \equiv 2^{n} \left[5\right]
    Ainsi :
    2n×24≡(2n×1)[5]2^{n} \times 2^{4} \equiv \left(2^{n} \times 1\right)\left[5\right]
    2n+4≡2n[5]2^{n+4} \equiv 2^{n} \left[5\right]
  • Dans un deuxieˋme temps :\blue{\text{Dans un deuxième temps :}}
    • 33≡27[5]⇒33≡2[5]3^{3} \equiv 27\left[5\right]\Rightarrow 3^{3} \equiv 2\left[5\right] car 27=5×5+227=5\times5 +2
    32≡9[5]⇒32≡4[5]3^{2} \equiv 9\left[5\right]\Rightarrow 3^{2} \equiv 4\left[5\right] car 9=5×1+49=5\times1 +4
    Ainsi :
    (33)n≡2n[5]\left(3^{3} \right)^{n} \equiv 2^{n} \left[5\right] d'où 33n≡2n[5]3^{3n} \equiv 2^{n} \left[5\right]
    Nous pouvons alors écrire que :
    33n×32≡(2n×4)[5]3^{3n} \times 3^{2} \equiv \left(2^{n} \times 4\right)\left[5\right]
    33n+2≡(4×2n)[5]3^{3n+2} \equiv \left(4\times 2^{n} \right)\left[5\right]
  • Finalement :\blue{\text{Finalement :}}
    • 2n+4+33n+2≡(2n+4×2n)[5]2^{n+4} +3^{3n+2} \equiv \left(2^{n} +4\times 2^{n} \right)\left[5\right]
    2n+4+33n+2≡(1×2n+4×2n)[5]2^{n+4} +3^{3n+2} \equiv \left(1\times 2^{n} +4\times 2^{n} \right)\left[5\right]
    2n+4+33n+2≡(2n(1+4))[5]2^{n+4} +3^{3n+2} \equiv \left(2^{n} \left(1+4\right)\right)\left[5\right]
    2n+4+33n+2≡(5×2n)[5]2^{n+4} +3^{3n+2} \equiv \left({\color{red}{5}}\times 2^{n} \right)\left[5\right]

    Il en résulte donc que pour tout entier naturel nn non nul, 2n+4+33n+22^{n+4}+3^{3n+2} est bien un multiple de 55.