Montrer une divisibilité à l'aide des congruences - Exercice 3

Nous pouvons écrire :
$$2^{n+4}$$ sous la forme $$2^{n}\times2^{4}$$ et $$3^{3n+2}$$ sous la forme $$3^{3n}\times3^{2}$$

$$\blue{\text{Dans un premier temps :}}$$

$$2^{4} \equiv 16\left[5\right]\Rightarrow 2^{4} \equiv 1\left[5\right]$$ car $$16=5\times3 +1$$
$$2\equiv 2\left[5\right]\Rightarrow 2^{n} \equiv 2^{n} \left[5\right]$$
Ainsi :
$$2^{n} \times 2^{4} \equiv \left(2^{n} \times 1\right)\left[5\right]$$
$$2^{n+4} \equiv 2^{n} \left[5\right]$$

$$\blue{\text{Dans un deuxième temps :}}$$

$$3^{3} \equiv 27\left[5\right]\Rightarrow 3^{3} \equiv 2\left[5\right]$$ car $$27=5\times5 +2$$
$$3^{2} \equiv 9\left[5\right]\Rightarrow 3^{2} \equiv 4\left[5\right]$$ car $$9=5\times1 +4$$
Ainsi :
$$\left(3^{3} \right)^{n} \equiv 2^{n} \left[5\right]$$ d'où $$3^{3n} \equiv 2^{n} \left[5\right]$$
Nous pouvons alors écrire que :
$$3^{3n} \times 3^{2} \equiv \left(2^{n} \times 4\right)\left[5\right]$$
$$3^{3n+2} \equiv \left(4\times 2^{n} \right)\left[5\right]$$

$$\blue{\text{Finalement :}}$$

$$2^{n+4} +3^{3n+2} \equiv \left(2^{n} +4\times 2^{n} \right)\left[5\right]$$
$$2^{n+4} +3^{3n+2} \equiv \left(1\times 2^{n} +4\times 2^{n} \right)\left[5\right]$$
$$2^{n+4} +3^{3n+2} \equiv \left(2^{n} \left(1+4\right)\right)\left[5\right]$$

Il en résulte donc que pour tout entier naturel $$n$$ non nul, $$2^{n+4}+3^{3n+2}$$ est bien un multiple de $$5$$.