Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et congruences

Montrer une divisibilité à l'aide des congruences - Exercice 2

5 min
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Question 1

Montrer que pour tout entier naturel nn non nul, 126n112^{6n}-1 est un multiple de 77 .

Correction
Calcul un peu fastidieux !
A la calculatrice, on vérifie que : 126=2  985  98412^6=2\;985\;984
Soit aa un entier relatif et bb un entier naturel non nul.
  • On appelle division euclidienne de a\red{a} par b\blue{b}, l’opération qui au couple (a;b)\left(\red{a};\blue{b}\right) associe le couple (q;r)\left(\purple{q};\pink{r}\right) tel que : a=b×q+r\red{a} = \blue{b}\times\purple{q} + \pink{r} avec 0r<b0\le \pink{r} < \blue{b}
  • a\red{a} s’appelle le dividende, b\blue{b} le diviseur, q\purple{q} le quotient et r\pink{r} le reste.
  • On obtient :
    2  985  984=7×426  569+1\red{2\;985\;984} = \blue{7}\times\purple{426\;569} + \pink{1} avec 01<70\le \pink{1} < \blue{7}
    Donc le reste vaut r=1\pink{r=1}
    On peut donc écrire que : 1261[7]12^{6} \equiv 1\left[7\right]
  • Soient mm un entier naturel (m>2)\left(m > 2\right), aa et bb des entiers relatifs vérifiant : ab[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] .
    Pour tout kN\blue{k}\in \mathbb{N} on a : akbk[m]\red{a}^{\blue{k}} \equiv \red{b}^{\blue{k}}\left[m\right]
  • Soit nn un entier naturel non nul.
    Comme 1261[7]12^{6} \equiv 1\left[7\right] alors :
    (126)n1n[7]\left(12^{6} \right)^{n} \equiv 1^{n} \left[7\right]
    126n1[7]12^{6n} \equiv 1\left[7\right]
    Ainsi :
    126n10[7]12^{6n} -1\equiv 0\left[7\right]

    Il en résulte donc que pour tout entier naturel nn non nul, 126n112^{6n}-1 est bien un multiple de 77