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Montrer une divisibilité à l'aide des congruences - Exercice 1

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Question 1

Montrer que pour tout entier naturel nn non nul, 42n−14^{2n}-1 est un multiple de 33 .

Correction
On sait que : 42=164^2=16
Soit aa un entier relatif et bb un entier naturel non nul.
  • On appelle division euclidienne de a\red{a} par b\blue{b}, l’opération qui au couple (a;b)\left(\red{a};\blue{b}\right) associe le couple (q;r)\left(\purple{q};\pink{r}\right) tel que : a=b×q+r\red{a} = \blue{b}\times\purple{q} + \pink{r} avec 0≤r<b0\le \pink{r} < \blue{b}
  • a\red{a} s’appelle le dividende, b\blue{b} le diviseur, q\purple{q} le quotient et r\pink{r} le reste.
    • On obtient :
    16=3×5+1\red{16} = \blue{3}\times\purple{5} + \pink{1} avec 0≤1<30\le \pink{1} < \blue{3}
    Donc le reste vaut r=1\pink{r=1}
    On peut donc écrire que : 42≡1[3]4^{2} \equiv 1\left[3\right]
  • Soient mm un entier naturel (m>2)\left(m > 2\right), aa et bb des entiers relatifs vérifiant : a≡b[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] .
    Pour tout k∈N\blue{k}\in \mathbb{N} on a : ak≡bk[m]\red{a}^{\blue{k}} \equiv \red{b}^{\blue{k}}\left[m\right]
    • Soit nn un entier naturel non nul.
    Comme 42≡1[3]4^{2} \equiv 1\left[3\right] alors :
    (42)n≡1n[3]\left(4^{2} \right)^{n} \equiv 1^{n} \left[3\right]
    42n≡1[3]4^{2n} \equiv 1\left[3\right]
    Ainsi :
    42n−1≡0[3]4^{2n} -1\equiv 0\left[3\right]

    Il en résulte donc que pour tout entier naturel nn non nul, 42n−14^{2n}-1 est bien un multiple de 33