Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et congruences

La division euclidienne - Exercice 3

15 min
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Question 1

Soit nn un entier naturel. Déterminer, selon les valeurs de nn, le reste dans la division euclidienne de 6n+76n+7 par 3n+13n+1 .

Correction
Soit aa un entier relatif et bb un entier naturel non nul.
  • On appelle division euclidienne de a\red{a} par b\blue{b}, l’opération qui au couple (a;b)\left(\red{a};\blue{b}\right) associe le couple (q;r)\left(\purple{q};\pink{r}\right) tel que : a=b×q+r\red{a} = \blue{b}\times\purple{q} + \pink{r} avec 0r<b0\le \pink{r} < \blue{b}
  • a\red{a} s’appelle le dividende, b\blue{b} le diviseur, q\purple{q} le quotient et r\pink{r} le reste.
  • On obtient :
    6n+7=(3n+1)×2+5\red{6n+7} = \blue{\left(3n+1\right)}\times\purple{2} + \pink{5} avec 05<3n+10\le \pink{5} < \blue{3n+1}
    nn étant un entier naturel, Il faut donc que :
    3n+1>53n>4n>433n+1>5\Leftrightarrow 3n>4\Leftrightarrow n>\frac{4}{3}. Finalement, n2n\ge 2.
    On peut donc conclure que le reste dans la division euclidienne de 6n+7\red{6n+7} par 3n+1\blue{3n+1} est 5 \pink{5} pour n2n\ge 2 .
    Maintenant, nous allons déterminer les restes lorsque n=0n=0 et n=1n=1
  • Pour n=0n=0, on a : 6n+7=76n+7=\red{7} et 3n+1=13n+1=\blue{1}, donc le reste de la division euclidienne de 7\red{7} par 1\blue{1} est 0\pink{0}
  • Pour n=1n=1, on a : 6n+7=136n+7=\red{13} et 3n+1=43n+1=\blue{4}, donc le reste de la division euclidienne de 13\red{13} par 4\blue{4} est 1\pink{1}
  • Question 2

    Soit nn un entier naturel. Déterminer, selon les valeurs de nn, le reste dans la division euclidienne de 4n+194n+19 par 2n+42n+4 .

    Correction
    Soit aa un entier relatif et bb un entier naturel non nul.
  • On appelle division euclidienne de a\red{a} par b\blue{b}, l’opération qui au couple (a;b)\left(\red{a};\blue{b}\right) associe le couple (q;r)\left(\purple{q};\pink{r}\right) tel que : a=b×q+r\red{a} = \blue{b}\times\purple{q} + \pink{r} avec 0r<b0\le \pink{r} < \blue{b}
  • a\red{a} s’appelle le dividende, b\blue{b} le diviseur, q\purple{q} le quotient et r\pink{r} le reste.
  • On obtient :
    4n+19=(2n+4)×2+11\red{4n+19} = \blue{\left(2n+4\right)}\times\purple{2} + \pink{11} avec 011<2n+40\le \pink{11} < \blue{2n+4}
    nn étant un entier naturel, Il faut donc que :
    2n+4>112n>7n>722n+4>11\Leftrightarrow 2n>7\Leftrightarrow n>\frac{7}{2}. Finalement, n4n\ge 4.
    On peut donc conclure que le reste dans la division euclidienne de 4n+19\red{4n+19} par 2n+4\blue{2n+4} est 11 \pink{11} pour n4n\ge 4 .
    Maintenant, nous allons déterminer les restes lorsque n=0n=0; n=1n=1; n=2n=2 et n=3n=3
  • Pour n=0n=0, on a : 4n+19=194n+19=\red{19} et 2n+4=42n+4=\blue{4}, donc le reste de la division euclidienne de 19\red{19} par 4\blue{4} est 3\pink{3}
  • Pour n=1n=1, on a : 4n+19=234n+19=\red{23} et 2n+4=62n+4=\blue{6}, donc le reste de la division euclidienne de 23\red{23} par 6\blue{6} est 5\pink{5}
  • Pour n=2n=2, on a : 4n+19=274n+19=\red{27} et 2n+4=82n+4=\blue{8}, donc le reste de la division euclidienne de 27\red{27} par 8\blue{8} est 3\pink{3}
  • Pour n=3n=3, on a : 4n+19=314n+19=\red{31} et 2n+4=102n+4=\blue{10}, donc le reste de la division euclidienne de 31\red{31} par 10\blue{10} est 1\pink{1}
  • Question 3

    Soit nn un entier naturel. Déterminer, selon les valeurs de nn, le reste dans la division euclidienne de 9n+69n+6 par 4n+14n+1 .

    Correction
    Soit aa un entier relatif et bb un entier naturel non nul.
  • On appelle division euclidienne de a\red{a} par b\blue{b}, l’opération qui au couple (a;b)\left(\red{a};\blue{b}\right) associe le couple (q;r)\left(\purple{q};\pink{r}\right) tel que : a=b×q+r\red{a} = \blue{b}\times\purple{q} + \pink{r} avec 0r<b0\le \pink{r} < \blue{b}
  • a\red{a} s’appelle le dividende, b\blue{b} le diviseur, q\purple{q} le quotient et r\pink{r} le reste.
  • On obtient :
    9n+6=(4n+1)×2+n+4\red{9n+6} = \blue{\left(4n+1\right)}\times\purple{2} + \pink{n+4} avec 0n+4<4n+10\le \pink{n+4} < \blue{4n+1}
    Il faut donc que n+40n+4\ge 0 et 4n+1>n+44n+1>n+4 .
    Ainsi n4n\ge -4 et n>1n>1. Finalement, il faut donc que n>1n>1
    On peut donc conclure que le reste dans la division euclidienne de 9n+6\red{9n+6} par 4n+1\blue{4n+1} est n+4 \pink{n+4} pour n>1n>1 c'est à dire pour n2n\ge 2 .
    Maintenant, nous allons déterminer les restes lorsque n=0n=0 et n=1n=1.
  • Pour n=0n=0, on a : 9n+6=69n+6=\red{6} et 4n+1=14n+1=\blue{1}, donc le reste de la division euclidienne de 6\red{6} par 1\blue{1} est 0\pink{0}
  • Pour n=1n=1, on a : 9n+6=159n+6=\red{15} et 4n+1=54n+1=\blue{5}, donc le reste de la division euclidienne de 15\red{15} par 5\blue{5} est 0\pink{0}
  • Question 4

    Soit nn un entier naturel. Déterminer, selon les valeurs de nn, le reste dans la division euclidienne de 16n+416n+4 par 5n+25n+2 .

    Correction
    Soit aa un entier relatif et bb un entier naturel non nul.
  • On appelle division euclidienne de a\red{a} par b\blue{b}, l’opération qui au couple (a;b)\left(\red{a};\blue{b}\right) associe le couple (q;r)\left(\purple{q};\pink{r}\right) tel que : a=b×q+r\red{a} = \blue{b}\times\purple{q} + \pink{r} avec 0r<b0\le \pink{r} < \blue{b}
  • a\red{a} s’appelle le dividende, b\blue{b} le diviseur, q\purple{q} le quotient et r\pink{r} le reste.
  • On obtient :
    16n+4=(5n+2)×3+n2\red{16n+4} = \blue{\left(5n+2\right)}\times\purple{3} + \pink{n-2} avec 0n2<5n+20\le \pink{n-2} < \blue{5n+2}
    Il faut donc que n20n-2\ge 0 et 5n+2>n25n+2>n-2 .
    Ainsi n2n\ge 2 et n>1n>-1. Finalement, il faut donc que n2n\ge 2
    On peut donc conclure que le reste dans la division euclidienne de 16n+4\red{16n+4} par 5n+2\blue{5n+2} est n2 \pink{n-2} pour n2n\ge 2 .
    Maintenant, nous allons déterminer les restes lorsque n=0n=0 et n=1n=1
  • Pour n=0n=0, on a : 16n+4=416n+4=\red{4} et 5n+2=25n+2=\blue{2}, donc le reste de la division euclidienne de 4\red{4} par 2\blue{2} est 0\pink{0}
  • Pour n=1n=1, on a : 16n+4=2016n+4=\red{20} et 5n+2=75n+2=\blue{7}, donc le reste de la division euclidienne de 20\red{20} par 7\blue{7} est 6\pink{6}