Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et congruences

La division euclidienne - Exercice 2

10 min
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Question 1

On divise un entier naturel nn par 203203 puis par 198198 . Les quotients sont égaux et les restes respectifs sont 33 et 8383.
Déterminer cet entier nn .

Correction
Soit aa un entier relatif et bb un entier naturel non nul.
  • On appelle division euclidienne de a\red{a} par b\blue{b}, l’opération qui au couple (a;b)\left(\red{a};\blue{b}\right) associe le couple (q;r)\left(\purple{q};\pink{r}\right) tel que : a=b×q+r\red{a} = \blue{b}\times\purple{q} + \pink{r} avec 0r<b0\le \pink{r} < \blue{b}
  • a\red{a} s’appelle le dividende, b\blue{b} le diviseur, q\purple{q} le quotient et r\pink{r} le reste.
  • Pour les deux divisions euclidiennes les quotients q\purple{q} sont égaux.
  • La division euclidienne de nn par 203203 nous donne l'équation : n=203×q+3\red{n} = \blue{203}\times\purple{q} + \pink{3} avec 03<2030\le \pink{3} < \blue{203}
  • La division euclidienne de nn par 198198 nous donne l'équation : n=198×q+83\red{n} = \blue{198}\times\purple{q} + \pink{83} avec 083<1980\le \pink{83} < \blue{198}
  • A partir de l'équation n=203×q+3\red{n} = \blue{203}\times\purple{q} + \pink{3} et de l'équation n=198×q+83\red{n} = \blue{198}\times\purple{q} + \pink{83} on peut alors écrire que :
    203q+3=198q+83203\purple{q}+3=198\purple{q}+83 équivaut successivement à :
    203q198q=833203\purple{q}-198\purple{q}=83-3
    5q=805\purple{q}=80
    q=805\purple{q}=\frac{80}{5}
    Ainsi :
    q=16\purple{q}=16

    D’une part :\text{\blue{D'une part :}}
    n=203×16+3\red{n} = \blue{203}\times\purple{16} + \pink{3} donc
    n=3n=3 251251

    D’autre part :\text{\blue{D'autre part :}}
    n=198×16+83\red{n} = \blue{198}\times\purple{16} + \pink{83} donc
    n=3n=3 251251

    L'entier nn est alors égale à 33 251251 .
    Question 2

    Le diviseur d'une division euclidienne est égale à 3333, le reste est le carré du quotient. Calculer le dividende .

    Correction
    Soit aa un entier relatif et bb un entier naturel non nul.
  • On appelle division euclidienne de a\red{a} par b\blue{b}, l’opération qui au couple (a;b)\left(\red{a};\blue{b}\right) associe le couple (q;r)\left(\purple{q};\pink{r}\right) tel que : a=b×q+r\red{a} = \blue{b}\times\purple{q} + \pink{r} avec 0r<b0\le \pink{r} < \blue{b}
  • a\red{a} s’appelle le dividende, b\blue{b} le diviseur, q\purple{q} le quotient et r\pink{r} le reste.
  • Notons nn le dividende .Il vient alors que :
    n=33×q+q2\red{n} = \blue{33}\times\purple{q} + \pink{q^{2}} avec 0q2<330\le \pink{q^{2}} < \blue{33}
    n=33×q+q2\red{n} = \blue{33}\times\purple{q} + \pink{q^{2}} avec 0q<330\le \pink{q} < \sqrt{\blue{33}} . Or 335,74\sqrt{33}\approx 5,74.
    Il vient alors que :
    n=33×q+q2\red{n} = \blue{33}\times\purple{q} + \pink{q^{2}} avec 0q50\le \pink{q} \le 5
  • Lorsque q=0q=0 alors n=33×0+02n=0n=33\times 0+0^{2} \Rightarrow {\color{blue}{n=0}}
  • Lorsque q=1q=1 alors n=33×1+12n=34n=33\times 1+1^{2} \Rightarrow {\color{blue}{n=34}}
  • Lorsque q=2q=2 alors n=33×2+22n=70n=33\times 2+2^{2} \Rightarrow {\color{blue}{n=70}}
  • Lorsque q=3q=3 alors n=33×3+32n=108n=33\times 3+3^{2} \Rightarrow {\color{blue}{n=108}}
  • Lorsque q=4q=4 alors n=33×4+42n=148n=33\times 4+4^{2} \Rightarrow {\color{blue}{n=148}}
  • Lorsque q=5q=5 alors n=33×5+52n=190n=33\times 5+5^{2} \Rightarrow {\color{blue}{n=190}}
  • Il y a donc 66 dividendes possibles :
    {0;34;70;108;148;190}\left\{0;34;70;108;148;190\right\}