La division euclidienne avec un dividende négatif - Exercice 4

8 min
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Déterminer le reste de la division euclidienne de −2026-2026 par 99.
Question 1

Effectuer d'abord la division euclidienne de 20262026 par 99, puis conclure.

Correction
Soit aa un entier relatif et bb un entier naturel non nul.
  • On appelle division euclidienne de a\red{a} par b\blue{b} l’opération qui au couple (a;b)\left(\red{a};\blue{b}\right) associe l'unique couple d'entiers (q;r)\left(\purple{q};\pink{r}\right) tel que : a=b×q+r\red{a} = \blue{b}\times\purple{q} + \pink{r} avec 0≤r<b0\le \pink{r} \lt \blue{b}
  • Lorsque aa est négatif, le quotient q\purple{q} est négatif, mais le reste r\pink{r} est toujours positif ou nul.
    • On a 9×225=20259\times 225=2025, donc : 2026=9×225+12026=9\times 225+1.
    Il en résulte donc que −2026=9×(−225)−1-2026=9\times\left(-225\right)-1, ce qui équivaut successivement à :
    −2026=9×(−225)−9+8-2026=9\times\left(-225\right)-9+8
    −2026=9×(−226)+8\red{-2026} = \blue{9}\times\purple{\left(-226\right)} + \pink{8} avec 0≤8<90\le \pink{8} \lt \blue{9}
    Donc le reste vaut r=8\pink{r=8}.
    Avec les congruences :\red{\text{Avec les congruences :}} 2026≡1[9]2026\equiv 1\left[9\right], donc −2026≡−1≡8[9]-2026\equiv -1\equiv 8\left[9\right].

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