La division euclidienne avec un dividende négatif - Exercice 3

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Soit aa un entier relatif dont le reste dans la division euclidienne par 77 est 33.
Question 1

Déterminer le reste de la division euclidienne de −a-a par 77.

Correction
Soit aa un entier relatif et bb un entier naturel non nul.
  • On appelle division euclidienne de a\red{a} par b\blue{b} l’opération qui au couple (a;b)\left(\red{a};\blue{b}\right) associe l'unique couple d'entiers (q;r)\left(\purple{q};\pink{r}\right) tel que : a=b×q+r\red{a} = \blue{b}\times\purple{q} + \pink{r} avec 0≤r<b0\le \pink{r} \lt \blue{b}
  • Lorsque aa est négatif, le quotient q\purple{q} est négatif, mais le reste r\pink{r} est toujours positif ou nul.
    • On peut écrire a=7q+3a=7q+3 avec q∈Zq\in \mathbb{Z}. Ainsi −a=−7q−3-a=-7q-3, ce qui équivaut successivement à :
    −a=7×(−q)−7+4-a=7\times\left(-q\right)-7+4
    −a=7×(−q−1)+4-a=7\times\left(-q-1\right)+4
    Or −q−1-q-1 est un entier relatif et 0≤4<70\le 4\lt 7 : c'est la division euclidienne de −a-a par 77.
    Finalement :\purple{\text{Finalement :}} le reste de la division euclidienne de −a-a par 77 est 4\pink{4}.
    Question 2

    Retrouver ce résultat à l'aide des congruences.

    Correction
    Soit mm un entier naturel (m≥2)\left(m \geq 2\right).
  • a≡b[m]a\equiv b\left[m\right] si et seulement si aa et bb ont le même reste dans la division euclidienne par mm, c'est-à-dire si et seulement si mm divise a−ba-b.
  • Si a≡r[m]a\equiv \pink{r}\left[m\right] avec 0≤r<m0\le \pink{r}\lt m, alors r\pink{r} est le reste de la division euclidienne de aa par mm.
    • Nous avons : a≡3[7]a\equiv 3\left[7\right].
    Ainsi : −a≡−3[7]-a\equiv -3\left[7\right].
    Or −3=7×(−1)+4-3=7\times\left(-1\right)+4, donc −3≡4[7]-3\equiv 4\left[7\right].
    D'où :
    −a≡4[7]-a\equiv 4\left[7\right]

    Comme 0≤4<70\le 4\lt 7, le reste de la division euclidienne de −a-a par 77 est 4\pink{4}.

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