La division euclidienne avec un dividende négatif - Exercice 2

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Pour effectuer la division euclidienne de −23-23 par 44, Adam écrit : −23=4×(−5)−3-23=4\times\left(-5\right)-3.
Question 1

Adam a-t-il effectué la division euclidienne ? Si ce n'est pas le cas, la corriger.

Correction
Soit aa un entier relatif et bb un entier naturel non nul.
  • On appelle division euclidienne de a\red{a} par b\blue{b} l’opération qui au couple (a;b)\left(\red{a};\blue{b}\right) associe l'unique couple d'entiers (q;r)\left(\purple{q};\pink{r}\right) tel que : a=b×q+r\red{a} = \blue{b}\times\purple{q} + \pink{r} avec 0≤r<b0\le \pink{r} \lt \blue{b}
  • Lorsque aa est négatif, le quotient q\purple{q} est négatif, mais le reste r\pink{r} est toujours positif ou nul.
    • L'égalité d'Adam est juste : 4×(−5)−3=−20−3=−234\times\left(-5\right)-3=-20-3=-23.
    Cependant, le « reste » −3-3 est négatif : la condition 0≤r<40\le \pink{r}\lt \blue{4} n'est pas vérifiée. Adam n'a donc pas effectué la division euclidienne.
    Il faut donc écrire autrement :
    −23=4×(−5)−4+1-23=4\times\left(-5\right)-4+1
    −23=4×(−5−1)+1-23=4\times\left(-5-1\right)+1
    −23=4×(−6)+1\red{-23} = \blue{4}\times\purple{\left(-6\right)} + \pink{1} avec 0≤1<40\le \pink{1} \lt \blue{4}
    Donc le reste vaut r=1\pink{r=1} et le quotient vaut q=−6\purple{q=-6}.

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