La division euclidienne avec un dividende négatif - Exercice 1

10 min
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Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne :
Question 1

de −37-37 par 55.

Correction
Soit aa un entier relatif et bb un entier naturel non nul.
  • On appelle division euclidienne de a\red{a} par b\blue{b} l’opération qui au couple (a;b)\left(\red{a};\blue{b}\right) associe l'unique couple d'entiers (q;r)\left(\purple{q};\pink{r}\right) tel que : a=b×q+r\red{a} = \blue{b}\times\purple{q} + \pink{r} avec 0≤r<b0\le \pink{r} \lt \blue{b}
  • Lorsque aa est négatif, le quotient q\purple{q} est négatif, mais le reste r\pink{r} est toujours positif ou nul.
    • Le dividende est négatif : on encadre −37-37 entre deux multiples consécutifs de 55.
    5×(−8)=−405\times\left(-8\right)=-40 et 5×(−7)=−355\times\left(-7\right)=-35, donc : −40≤−37<−35-40\le -37\lt -35.
    Le quotient est le facteur du plus petit des deux multiples : q=−8\purple{q=-8}. Le reste est alors r=−37−(−40)=3r=-37-\left(-40\right)=3.
    On obtient :
    −37=5×(−8)+3\red{-37} = \blue{5}\times\purple{\left(-8\right)} + \pink{3} avec 0≤3<50\le \pink{3} \lt \blue{5}
    Donc le reste vaut r=3\pink{r=3} et le quotient vaut q=−8\purple{q=-8}.
    Attention :\red{\text{Attention :}} l'égalité −37=5×(−7)−2-37=5\times\left(-7\right)-2 est juste, mais ce n'est pas la division euclidienne, car le reste doit être positif ou nul.
    Question 2

    de −100-100 par 77.

    Correction
    Soit aa un entier relatif et bb un entier naturel non nul.
  • On appelle division euclidienne de a\red{a} par b\blue{b} l’opération qui au couple (a;b)\left(\red{a};\blue{b}\right) associe l'unique couple d'entiers (q;r)\left(\purple{q};\pink{r}\right) tel que : a=b×q+r\red{a} = \blue{b}\times\purple{q} + \pink{r} avec 0≤r<b0\le \pink{r} \lt \blue{b}
  • Lorsque aa est négatif, le quotient q\purple{q} est négatif, mais le reste r\pink{r} est toujours positif ou nul.
    • On encadre −100-100 entre deux multiples consécutifs de 77.
    7×(−15)=−1057\times\left(-15\right)=-105 et 7×(−14)=−987\times\left(-14\right)=-98, donc : −105≤−100<−98-105\le -100\lt -98.
    Le quotient est q=−15\purple{q=-15} et le reste est r=−100−(−105)=5r=-100-\left(-105\right)=5.
    On obtient :
    −100=7×(−15)+5\red{-100} = \blue{7}\times\purple{\left(-15\right)} + \pink{5} avec 0≤5<70\le \pink{5} \lt \blue{7}
    Donc le reste vaut r=5\pink{r=5} et le quotient vaut q=−15\purple{q=-15}.
    Question 3

    de −1-1 par 99.

    Correction
    Soit aa un entier relatif et bb un entier naturel non nul.
  • On appelle division euclidienne de a\red{a} par b\blue{b} l’opération qui au couple (a;b)\left(\red{a};\blue{b}\right) associe l'unique couple d'entiers (q;r)\left(\purple{q};\pink{r}\right) tel que : a=b×q+r\red{a} = \blue{b}\times\purple{q} + \pink{r} avec 0≤r<b0\le \pink{r} \lt \blue{b}
  • Lorsque aa est négatif, le quotient q\purple{q} est négatif, mais le reste r\pink{r} est toujours positif ou nul.
    • 9×(−1)=−99\times\left(-1\right)=-9 et 9×0=09\times 0=0, donc : −9≤−1<0-9\le -1\lt 0.
    On obtient :
    −1=9×(−1)+8\red{-1} = \blue{9}\times\purple{\left(-1\right)} + \pink{8} avec 0≤8<90\le \pink{8} \lt \blue{9}
    Donc le reste vaut r=8\pink{r=8} et le quotient vaut q=−1\purple{q=-1}.
    Question 4

    de −48-48 par 66.

    Correction
    Soit aa un entier relatif et bb un entier naturel non nul.
  • On appelle division euclidienne de a\red{a} par b\blue{b} l’opération qui au couple (a;b)\left(\red{a};\blue{b}\right) associe l'unique couple d'entiers (q;r)\left(\purple{q};\pink{r}\right) tel que : a=b×q+r\red{a} = \blue{b}\times\purple{q} + \pink{r} avec 0≤r<b0\le \pink{r} \lt \blue{b}
  • Lorsque aa est négatif, le quotient q\purple{q} est négatif, mais le reste r\pink{r} est toujours positif ou nul.
    • −48-48 est un multiple de 66 : −48=6×(−8)-48=6\times\left(-8\right).
    On obtient :
    −48=6×(−8)+0\red{-48} = \blue{6}\times\purple{\left(-8\right)} + \pink{0} avec 0≤0<60\le \pink{0} \lt \blue{6}
    Donc le reste vaut r=0\pink{r=0} et le quotient vaut q=−8\purple{q=-8} : 66 divise −48-48.

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