Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et congruences

La division euclidienne - Exercice 1

2 min
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Question 1

Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne 128128 par 55.

Correction
Soit aa un entier relatif et bb un entier naturel non nul.
  • On appelle division euclidienne de a\red{a} par b\blue{b}, l’opération qui au couple (a;b)\left(\red{a};\blue{b}\right) associe le couple (q;r)\left(\purple{q};\pink{r}\right) tel que : a=b×q+r\red{a} = \blue{b}\times\purple{q} + \pink{r} avec 0≤r<b0\le \pink{r} < \blue{b}
  • a\red{a} s’appelle le dividende, b\blue{b} le diviseur, q\purple{q} le quotient et r\pink{r} le reste.
    • On obtient :
    128=5×25+3\red{128} = \blue{5}\times\purple{25} + \pink{3} avec 0≤3<50\le \pink{3} < \blue{5}
    Donc le reste vaut r=3\pink{r=3} et le quotient vaut q=25\purple{q=25}
    Question 2

    Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne 256256 par 77.

    Correction
    Soit aa un entier relatif et bb un entier naturel non nul.
  • On appelle division euclidienne de a\red{a} par b\blue{b}, l’opération qui au couple (a;b)\left(\red{a};\blue{b}\right) associe le couple (q;r)\left(\purple{q};\pink{r}\right) tel que : a=b×q+r\red{a} = \blue{b}\times\purple{q} + \pink{r} avec 0≤r<b0\le \pink{r} < \blue{b}
  • a\red{a} s’appelle le dividende, b\blue{b} le diviseur, q\purple{q} le quotient et r\pink{r} le reste.
    • On obtient :
    256=7×36+4\red{256} = \blue{7}\times\purple{36} + \pink{4} avec 0≤4<70\le \pink{4} < \blue{7}
    Donc le reste vaut r=4\pink{r=4} et le quotient vaut q=36\purple{q=36}
    Question 3

    Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne 523523 par 99.

    Correction
    Soit aa un entier relatif et bb un entier naturel non nul.
  • On appelle division euclidienne de a\red{a} par b\blue{b}, l’opération qui au couple (a;b)\left(\red{a};\blue{b}\right) associe le couple (q;r)\left(\purple{q};\pink{r}\right) tel que : a=b×q+r\red{a} = \blue{b}\times\purple{q} + \pink{r} avec 0≤r<b0\le \pink{r} < \blue{b}
  • a\red{a} s’appelle le dividende, b\blue{b} le diviseur, q\purple{q} le quotient et r\pink{r} le reste.
    • On obtient :
    523=9×58+1\red{523} = \blue{9}\times\purple{58} + \pink{1} avec 0≤1<90\le \pink{1} < \blue{9}
    Donc le reste vaut r=1\pink{r=1} et le quotient vaut q=58\purple{q=58}
    Question 4

    Le professeur demande à sa classe de déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne 645645 par 3232.
    Adam lève la main est propose 32×19+3732\times19 +37 . Qu'en pensez-vous?

    Correction
    Soit aa un entier relatif et bb un entier naturel non nul.
  • On appelle division euclidienne de a\red{a} par b\blue{b}, l’opération qui au couple (a;b)\left(\red{a};\blue{b}\right) associe le couple (q;r)\left(\purple{q};\pink{r}\right) tel que : a=b×q+r\red{a} = \blue{b}\times\purple{q} + \pink{r} avec 0≤r<b0\le \pink{r} < \blue{b}
  • a\red{a} s’appelle le dividende, b\blue{b} le diviseur, q\purple{q} le quotient et r\pink{r} le reste.
    • On reprend ce que nous propose Adam :
    645=32×19+37\red{645} = \blue{32}\times\purple{19} + \pink{37} . Cependant ici 0≤37<320\le \pink{37} < \blue{32} n'est pas vérifié !!! Adam n'a donc pas raison mais ce n'est pas grave nous allons l'aider.
    Il faut donc écrire autrement :
    645=32×19+32+5645=32\times 19+32+5
    645=32×19+32+5645=32\times 19+32+5
    645=32×(19+1)+5645=32\times \left(19+1\right)+5
    645=32×20+5\red{645} = \blue{32}\times\purple{20} + \pink{5} avec 0≤5<320\le \pink{5} < \blue{32}
    Donc le reste vaut r=5\pink{r=5} et le quotient vaut q=20\purple{q=20}