Exercices types : 3ᵉ partie - Exercice 3

$$a\equiv b\left[n\right]$$ signifie que $$n$$ divise $$a-b$$ : il existe un entier $$k$$ tel que $$a-b=nk$$. De même, il existe un entier $$k'$$ tel que $$c-d=nk'$$.
Ainsi : $$\left(a+c\right)-\left(b+d\right)=\left(a-b\right)+\left(c-d\right)=nk+nk'=n\left(k+k'\right)$$.
Comme $$k+k'$$ est un entier, $$n$$ divise $$\left(a+c\right)-\left(b+d\right)$$ :

On fait apparaître $$a-b$$ et $$c-d$$ en ajoutant et en retranchant $$bc$$ :
$$ac-bd=ac-bc+bc-bd$$
$$ac-bd=c\left(a-b\right)+b\left(c-d\right)$$
$$ac-bd=c\times nk+b\times nk'$$
$$ac-bd=n\left(ck+bk'\right)$$
Comme $$ck+bk'$$ est un entier, $$n$$ divise $$ac-bd$$ :

Pour tout entier naturel $$p$$, posons la propriété $$P_{p}$$ : « $$a^{p}\equiv b^{p}\left[n\right]$$ ».
$$\red{\text{Étape d'initialisation :}}$$ $$a^{0}=1$$ et $$b^{0}=1$$, donc $$a^{0}\equiv b^{0}\left[n\right]$$. La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\red{\text{Étape d'hérédité :}}$$ supposons que, pour un entier naturel $$p$$ fixé, $$a^{p}\equiv b^{p}\left[n\right]$$ (hypothèse de récurrence). Comme $$a\equiv b\left[n\right]$$, la question 2 appliquée aux deux congruences donne : $$a^{p}\times a\equiv b^{p}\times b\left[n\right]$$, c'est-à-dire $$a^{p+1}\equiv b^{p+1}\left[n\right]$$. La propriété $$P_{p+1}$$ est vraie.
$$\red{\text{Conclusion :}}$$ par le principe de récurrence,