Exercices types : 3ᵉ partie - Exercice 2

Nous pouvons écrire $$3^{2n+1}=3\times\left(3^{2}\right)^{n}=3\times 9^{n}$$ et $$2^{n+2}=2^{2}\times 2^{n}=4\times 2^{n}$$.
Or $$9=7\times 1+2$$, donc $$9\equiv 2\left[7\right]$$, puis $$9^{n}\equiv 2^{n}\left[7\right]$$.
Ainsi :
$$B_{n}\equiv 3\times 2^{n}+4\times 2^{n}\left[7\right]$$
$$B_{n}\equiv 7\times 2^{n}\left[7\right]$$

Il en résulte donc que, pour tout entier naturel $$n$$, $$B_{n}$$ est divisible par $$7$$.

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n}$$ : « $$B_{n}$$ est divisible par $$7$$ ».
$$\red{\text{Étape d'initialisation :}}$$ $$B_{0}=3^{1}+2^{2}=3+4=7$$, qui est divisible par $$7$$. La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\red{\text{Étape d'hérédité :}}$$ supposons que, pour un entier naturel $$k$$ fixé, la propriété $$P_{k}$$ est vraie, c'est-à-dire qu'il existe un entier $$\pink{A}$$ tel que $$3^{2k+1}+2^{k+2}=7\pink{A}$$ : c'est l'$$\red{\text{hypothèse de récurrence}}$$. Montrons qu'alors $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$B_{k+1}=3^{2k+3}+2^{k+3}=9\times 3^{2k+1}+2\times 2^{k+2}$$
D'après l'hypothèse de récurrence, $$2^{k+2}=7\pink{A}-3^{2k+1}$$. Ainsi :
$$B_{k+1}=9\times 3^{2k+1}+2\times\left(7\pink{A}-3^{2k+1}\right)$$
$$B_{k+1}=9\times 3^{2k+1}+14\pink{A}-2\times 3^{2k+1}$$
$$B_{k+1}=7\times 3^{2k+1}+14\pink{A}$$
$$B_{k+1}=7\left(3^{2k+1}+2\pink{A}\right)$$
Comme $$3^{2k+1}+2\pink{A}$$ est un entier, $$B_{k+1}$$ est divisible par $$7$$ : la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\red{\text{Conclusion :}}$$ la propriété $$P_{0}$$ est vraie et elle est héréditaire ; par le principe de récurrence,