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Exercices types : 22ème partie - Exercice 1

5 min
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Question 1

Déterminer les valeurs de nn pour lesquelles A=n(n2−1)(n2+1)A=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right) est divisible par 1010 .

Correction
Dans un premier temps, il nous faut déterminer les restes de la division euclidienne de nn par 1010 .
Soit aa un entier relatif et bb un entier naturel non nul.
  • On appelle division euclidienne de a\red{a} par b\blue{b}, l’opération qui au couple (a;b)\left(\red{a};\blue{b}\right) associe le couple (q;r)\left(\purple{q};\pink{r}\right) tel que : a=b×q+r\red{a} = \blue{b}\times\purple{q} + \pink{r} avec 0≤r<b0\le \pink{r} < \blue{b}
  • a\red{a} s’appelle le dividende, b\blue{b} le diviseur, q\purple{q} le quotient et r\pink{r} le reste.
    • Nous avons : n=10×q+r\red{n} = \blue{10}\times\purple{q} + \pink{r} avec 0≤r<100\le \pink{r} < \blue{10}
    Les restes possibles dans la division euclidienne de nn par 1010 sont : 0;1;2;3;4;5;6;7;8;90;1;2;3;4;5;6;7;8;9
    Maintenant, en utilisant un tableau des congruences modulo 1010, nous allons déterminer les valeurs de nn pour lesquelles A=n(n2−1)(n2+1)A=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right) est divisible par 1010 .
    A=n(n2−1)(n2+1)A=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right) est divisible par 1010 si l'on peut écrire : n(n2−1)(n2+1)≡0[10]n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\equiv \red{0} \left[10\right] .
    D'après le tableau des congruences modulo 1010 cela est vrai pour toutes les valeurs de nn .
    On peut alors conclure que A=n(n2−1)(n2+1)A=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right) est divisible par 1010 pour tout entier naturel nn.

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