Exercices types : $2$^ème partie

Dans un premier temps, il nous faut déterminer les restes de la division euclidienne de $n$ par $10$ .
Nous avons : $\red{n} = \blue{10}\times\purple{q} + \pink{r}$ avec $0\le \pink{r} < \blue{10}$
Les restes possibles dans la division euclidienne de $n$ par $10$ sont : $0;1;2;3;4;5;6;7;8;9$
Maintenant, en utilisant un tableau des congruences modulo $10$, nous allons déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $A=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)$ est divisible par $10$ .$A=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)$ est divisible par $10$ si l'on peut écrire : $n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\equiv \red{0} \left[10\right]$ .
D'après le tableau des congruences modulo $10$ cela est vrai pour toutes les valeurs de $n$ .
On peut alors conclure que $A=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)$ est divisible par $10$ pour tout entier naturel $n$.