Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 1

Dans un premier temps, il nous faut déterminer les restes de la division euclidienne de $$n$$ par $$10$$ .
Nous avons : $$\red{n} = \blue{10}\times\purple{q} + \pink{r}$$ avec $$0\le \pink{r} < \blue{10}$$
Les restes possibles dans la division euclidienne de $$n$$ par $$10$$ sont : $$0;1;2;3;4;5;6;7;8;9$$
Maintenant, en utilisant un tableau des congruences modulo $$10$$, nous allons déterminer les valeurs de $$n$$ pour lesquelles $$A=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)$$ est divisible par $$10$$ .$$A=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)$$ est divisible par $$10$$ si l'on peut écrire : $$n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\equiv \red{0} \left[10\right]$$ .
D'après le tableau des congruences modulo $$10$$ cela est vrai pour toutes les valeurs de $$n$$ .
On peut alors conclure que $$A=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)$$ est divisible par $$10$$ pour tout entier naturel $$n$$.