Exercices types : 2ᵉ partie - Exercice 1

Dans un premier temps, il nous faut déterminer les restes de la division euclidienne de $$n$$ par $$10$$.
Nous avons : $$\red{n} = \blue{10}\times\purple{q} + \pink{r}$$ avec $$0\le \pink{r} < \blue{10}$$
Les restes possibles dans la division euclidienne de $$n$$ par $$10$$ sont : $$0;1;2;3;4;5;6;7;8;9$$
Maintenant, en utilisant un tableau des congruences modulo $$10$$, nous allons déterminer les valeurs de $$n$$ pour lesquelles $$A=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)$$ est divisible par $$10$$.$$A=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)$$ est divisible par $$10$$ si l'on peut écrire : $$n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\equiv \red{0} \left[10\right]$$.
D'après le tableau des congruences modulo $$10$$ cela est vrai pour toutes les valeurs de $$n$$.
On peut alors conclure que $$A=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)$$ est divisible par $$10$$ pour tout entier naturel $$n$$.
$$\red{\text{Remarque :}}$$ $$n\left(n^{2}-1\right)\left(n^{2}+1\right)=n\left(n^{4}-1\right)=n^{5}-n$$. Le tableau montre donc que $$n^{5}\equiv n\left[10\right]$$ : le chiffre des unités de $$n^{5}$$ est toujours celui de $$n$$.