Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et congruences

Exercices types : 11ère partie - Exercice 6

8 min
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Question 1

Déterminer le reste de la division euclidienne de 720217^{2021} par 55 .

Correction
  • Soit p\red{p} un entier naturel non nul . Si x≡y[m]x\equiv y\left[m\right] alors xp≡yp[m]x^{\red{p}} \equiv y^{\red{p}} \left[m\right]
    • 7≡2[5]7\equiv 2 \left[5\right]
    72≡22[5]7\red{^{2}}\equiv 2\red{^{2}} \left[5\right] donc 72≡4[5]7\red{^{2}}\equiv4 \left[5\right]
    73≡23[5]7\red{^{3}}\equiv 2\red{^{3}} \left[5\right] donc 73≡8[5]7\red{^{3}}\equiv8 \left[5\right] et ainsi 73≡3[5]7\red{^{3}}\equiv3 \left[5\right] car 8=5×1+38=5\times1+3
    74≡24[5]7\red{^{4}}\equiv 2\red{^{4}} \left[5\right] donc 74≡16[5]7\red{^{4}}\equiv16 \left[5\right] et ainsi 74≡1[5]7{^{{\color{blue}{4}}}}\equiv1 \left[5\right] car 16=5×3+116=5\times3+1
    De plus, la division euclidienne de 20212021 par 4{\color{blue}{4}} nous donne : 2021=4×505+12021=4\times505+1
    Ainsi : 72021=74×505+17^{2021}=7^{4\times505+1} donc 72021=74×505×77^{2021} =7^{4\times 505} \times 7 et enfin 72021=(74)505×77^{2021} =\left(7^{4} \right)^{505} \times 7
    Il vient alors que :
    74≡1[5]7{^{4}}\equiv1 \left[5\right]
    (74)505≡1505[5]\left(7^{4} \right)^{505} \equiv 1^{505} \left[5\right]
    (74)505≡1[5]\red{\left(7^{4} \right)^{505}} \equiv \red{1}\left[5\right] . Or 7≡2[5]\blue{7}\equiv \blue{2} \left[5\right]
    Soient mm un entier naturel (m>2)\left(m > 2\right), aa,bb,cc et dd des entiers relatifs vérifiant : a≡b[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] et c≡d[m]\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right].
  • a×c≡b×d[m]\red{a}\times\blue{c} \equiv \red{b}\times\blue{d}\left[m\right]
    • Soit :
    (74)505×7≡1×2[5]\red{\left(7^{4} \right)^{505} }\times \blue{7}\equiv \red{1}\times\blue{2}\left[5\right]
    (74)505×7≡2[5]\left(7^{4} \right)^{505} \times 7\equiv 2\left[5\right]
    Finalement :
    72021≡2[5]7^{2021} \equiv 2\left[5\right]

    Le reste de la division euclidienne de 720217^{2021} par 55 est 22 .