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Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et congruences
Exercices types :
1
1
1
ère
partie - Exercice 3
5 min
10
Question 1
La division euclidienne d’un entier naturel
x
x
x
par
36
36
36
donne le quotient
q
q
q
et le reste
q
2
q^{2}
q
2
.
Quelles sont les valeurs possibles de
x
x
x
?
Correction
Soit
a
a
a
un entier relatif et
b
b
b
un entier naturel non nul.
On appelle division euclidienne de
a
\red{a}
a
par
b
\blue{b}
b
, l’opération qui au couple
(
a
;
b
)
\left(\red{a};\blue{b}\right)
(
a
;
b
)
associe le couple
(
q
;
r
)
\left(\purple{q};\pink{r}\right)
(
q
;
r
)
tel que :
a
=
b
×
q
+
r
\red{a} = \blue{b}\times\purple{q} + \pink{r}
a
=
b
×
q
+
r
avec
0
≤
r
<
b
0\le \pink{r} < \blue{b}
0
≤
r
<
b
a
\red{a}
a
s’appelle le dividende,
b
\blue{b}
b
le diviseur,
q
\purple{q}
q
le quotient et
r
\pink{r}
r
le reste.
On obtient :
x
=
36
×
q
+
q
2
\red{x} = \blue{36}\times\purple{q} + \pink{q^{2}}
x
=
36
×
q
+
q
2
avec
0
≤
q
2
<
36
0\le \pink{q^{2}} < \blue{36}
0
≤
q
2
<
36
Les valeurs
q
q
q
permettant de vérifier
0
≤
q
2
<
36
0\le \pink{q^{2}} < \blue{36}
0
≤
q
2
<
36
sont alors :
q
=
{
0
;
1
;
2
;
3
;
4
;
5
}
q=\left\{0;1;2;3;4;5\right\}
q
=
{
0
;
1
;
2
;
3
;
4
;
5
}
Ainsi :
Si
q
=
0
q=0
q
=
0
alors
x
=
36
×
0
+
0
2
x=36\times 0+0^{2}
x
=
36
×
0
+
0
2
donc
x
=
0
x=0
x
=
0
Si
q
=
1
q=1
q
=
1
alors
x
=
36
×
1
+
1
2
x=36\times 1+1^{2}
x
=
36
×
1
+
1
2
donc
x
=
37
x=37
x
=
37
Si
q
=
2
q=2
q
=
2
alors
x
=
36
×
2
+
2
2
x=36\times 2+2^{2}
x
=
36
×
2
+
2
2
donc
x
=
76
x=76
x
=
76
Si
q
=
3
q=3
q
=
3
alors
x
=
36
×
3
+
3
2
x=36\times 3+3^{2}
x
=
36
×
3
+
3
2
donc
x
=
117
x=117
x
=
117
Si
q
=
4
q=4
q
=
4
alors
x
=
36
×
4
+
4
2
x=36\times 4+4^{2}
x
=
36
×
4
+
4
2
donc
x
=
160
x=160
x
=
160
Si
q
=
5
q=5
q
=
5
alors
x
=
36
×
5
+
5
2
x=36\times 5+5^{2}
x
=
36
×
5
+
5
2
donc
x
=
205
x=205
x
=
205
L'ensemble des solutions est alors :
S
=
{
0
;
37
;
76
;
117
;
160
;
205
}
S=\left\{0;37;76;117;160;205\right\}
S
=
{
0
;
37
;
76
;
117
;
160
;
205
}