D'après la question
1, nous avons montré que
(n+3)(n−4)+15=n2−n+3n−4 divise
n2−n+3 et
n−4 divise
n−4 alors
n−4 divise toute combinaison linéaire de
n2−n+3 et
n−4.
On peut donc aussi dire que
n−4 divise toute combinaison linéaire de
(n+3)(n−4)+15 et
n−4.
n−4 divise
(α×((n+3)(n−4)+15)+β×(n−4)) avec
α=1 et
β=−(n+3) Ici, nous avons construit une
combinaison lineˊaire indeˊpendante de n. Nous l'écrivons pour simplifier l'écriture :
n−4 divise
(1×((n+3)(n−4)+15)−(n+3)×(n−4)) n−4 divise
15 Les diviseurs de
15 sont :
{−15;−5;−3;−1;1;3;5;15} que l'on note également :
D(15)={−15;−5;−3;−1;1;3;5;15} On a donc :
n−4=−15⇔n=−11 ou n−4=−5⇔n=−1 ou n−4=−3⇔n=1 ou n−4=−1⇔n=3 ou n−4=1⇔n=5 ou n−4=3⇔n=7 ou n−4=5⇔n=9 ou n−4=15⇔n=19Les solutions possibles pour
n sont alors :
{−11;−5;1;3;5;7;9;19}Il faut ensuite vérifier que pour ces valeurs de
n on a :
n−4 divise
n2−n+3Si
n=−11 , cela donne
−15 divise
135 ce qui est vrai .
Si
n=−5 , cela donne
−9 divise
33 ce qui est vrai .
Si
n=1 , cela donne
−3 divise
3 ce qui est vrai .
Si
n=3 , cela donne
−1 divise
9 ce qui est vrai .
Si
n=5 , cela donne
1 divise
23 ce qui est vrai .
Si
n=7 , cela donne
3 divise
45 ce qui est vrai .
Si
n=9 , cela donne
5 divise
75 ce qui est vrai .
Si
n=19 , cela donne
14 divise
345 ce qui est vrai .
Finalement, les entiers relatifs
n pour lesquels
n−4 divise
n2−n+3 sont :
S={−11;−5;1;3;5;7;9;19}