Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et congruences

Exercices types : 11ère partie - Exercice 2

10 min
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Question 1

Montrer que tout entier relatif nn, on a : n2n+3=(n+3)(n4)+15n^{2}-n+3=\left(n+3\right)\left(n-4\right)+15

Correction
Nous allons tout simplement développer l'expression (n+3)(n4)+15\left(n+3\right)\left(n-4\right)+15 .
(n+3)(n4)+15=n24n+3n12+15\left(n+3\right)\left(n-4\right)+15=n^{2} -4n+3n-12+15
Ainsi :
(n+3)(n4)+15=n2n+3\left(n+3\right)\left(n-4\right)+15=n^{2} -n+3

Question 2

Déterminer alors les entiers relatifs nn pour lesquels n4n-4 divise n2n+3n^{2}-n+3 .

Correction
D'après la question 11, nous avons montré que (n+3)(n4)+15=n2n+3\pink{\left(n+3\right)\left(n-4\right)+15=n^{2} -n+3}
n4n-4 divise n2n+3n^{2}-n+3 et n4n-4 divise n4n-4 alors n4n-4 divise toute combinaison linéaire de n2n+3\pink{n^{2}-n+3} et n4n-4.
On peut donc aussi dire que n4n-4 divise toute combinaison linéaire de (n+3)(n4)+15\pink{\left(n+3\right)\left(n-4\right)+15} et n4n-4.
n4n-4 divise (α×((n+3)(n4)+15)+β×(n4))\left(\blue{\alpha}\times \left(\pink{\left(n+3\right)\left(n-4\right)+15}\right)+\purple{\beta}\times\left(n-4\right)\right) avec α=1\blue{\alpha=1} et β=(n+3)\purple{\beta=-\left(n+3\right)} Ici, nous avons construit une combinaison lineˊaire indeˊpendante de\red{\text{combinaison linéaire indépendante de}} n.\red{n.}
Nous l'écrivons pour simplifier l'écriture :
n4n-4 divise (1×((n+3)(n4)+15)(n+3)×(n4))\left(\blue{1}\times \left(\pink{\left(n+3\right)\left(n-4\right)+15}\right)\purple{-\left(n+3\right)}\times\left(n-4\right)\right)
n4n-4 divise 1515
Les diviseurs de 1515 sont : {15;5;3;1;1;3;5;15}\left\{-15; -5; -3;-1; 1;3;5;15\right\} que l'on note également : D(15)={15;5;3;1;1;3;5;15}D\left(15\right)=\left\{-15; -5; -3;-1; 1;3;5;15\right\}
On a donc :
n4=15n=11n-4=-15\Leftrightarrow n=-11 ou\pink{\text{ou}} n4=5n=1n-4=-5\Leftrightarrow n=-1 ou\pink{\text{ou}} n4=3n=1n-4=-3\Leftrightarrow n=1 ou\pink{\text{ou}} n4=1n=3n-4=-1\Leftrightarrow n=3 ou\pink{\text{ou}} n4=1n=5n-4=1\Leftrightarrow n=5 ou\pink{\text{ou}} n4=3n=7n-4=3\Leftrightarrow n=7 ou\pink{\text{ou}} n4=5n=9n-4=5\Leftrightarrow n=9 ou\pink{\text{ou}} n4=15n=19n-4=15\Leftrightarrow n=19
Les solutions possibles pour nn sont alors : {11;5;1;3;5;7;9;19}\left\{-11;-5;1;3;5;7;9;19\right\}
Il faut ensuite vérifier que pour ces valeurs de nn on a : n4n-4 divise n2n+3n^{2}-n+3
Si n=11n=-11 , cela donne 15-15 divise 135135 ce qui est vrai \green{\text{ce qui est vrai }}.
Si n=5n=-5 , cela donne 9-9 divise 3333 ce qui est vrai \green{\text{ce qui est vrai }}.
Si n=1n=1 , cela donne 3-3 divise 33 ce qui est vrai \green{\text{ce qui est vrai }}.
Si n=3n=3 , cela donne 1-1 divise 99 ce qui est vrai \green{\text{ce qui est vrai }}.
Si n=5n=5 , cela donne 11 divise 2323 ce qui est vrai \green{\text{ce qui est vrai }}.
Si n=7n=7 , cela donne 33 divise 4545 ce qui est vrai \green{\text{ce qui est vrai }}.
Si n=9n=9 , cela donne 55 divise 7575 ce qui est vrai \green{\text{ce qui est vrai }}.
Si n=19n=19 , cela donne 1414 divise 345345 ce qui est vrai \green{\text{ce qui est vrai }}.
Finalement, les entiers relatifs nn pour lesquels n4n-4 divise n2n+3n^{2}-n+3 sont :
S={11;5;1;3;5;7;9;19}S=\left\{-11;-5;1;3;5;7;9;19\right\}