Établir et utiliser des critères de divisibilité - Exercice 3

20 min
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Des critères par 44, par 2525, et un critère commun à 77, 1111 et 1313.
Question 1

Montrer que 100≡0[4]100\equiv 0\left[4\right] et que 100≡0[25]100\equiv 0\left[25\right]. En déduire qu'un entier naturel est divisible par 44 (respectivement par 2525) si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres l'est.

Correction
On a 100=4×25100=4\times 25, donc 100≡0[4]100\equiv 0\left[4\right] et 100≡0[25]100\equiv 0\left[25\right].
Soit NN un entier naturel et uu le nombre formé par ses deux derniers chiffres. On peut écrire N=100×M+uN=100\times M+u, où MM est un entier naturel.
Ainsi : N≡0×M+u≡u[4]N\equiv 0\times M+u\equiv u\left[4\right] et de même N≡u[25]N\equiv u\left[25\right].
NN est donc divisible par 44 (respectivement par 2525) si et seulement si uu l'est.
Question 2

Le nombre 2  026  5162\;026\;516 est-il divisible par 44 ? par 2525 ?

Correction
Le nombre formé par les deux derniers chiffres est 1616.
16=4×416=4\times 4, donc
2  026  5162\;026\;516 est divisible par 44

1616 n'est pas un multiple de 2525, donc
2  026  5162\;026\;516 n'est pas divisible par 2525
Question 3

Vérifier que 1  001=7×11×131\;001=7\times 11\times 13, puis montrer que 1  000≡−1[7]1\;000\equiv -1\left[7\right].

Correction
7×11=777\times 11=77 et 77×13=1  00177\times 13=1\;001.
Ainsi 1  000=1  001−1=7×143−11\;000=1\;001-1=7\times 143-1, donc
1  000≡−1[7]1\;000\equiv -1\left[7\right]

De la même façon, 1  000≡−1[11]1\;000\equiv -1\left[11\right] et 1  000≡−1[13]1\;000\equiv -1\left[13\right].
Question 4

En déduire que tout nombre de six chiffres de la forme abcabcabcabc (par exemple 123  123123\;123) est divisible par 77.

Correction
Soient mm un entier naturel (m≥2)\left(m \geq 2\right), aa, bb, cc et dd des entiers relatifs vérifiant : a≡b[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] et c≡d[m]\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right].
  • a+c≡b+d[m]\red{a}+\blue{c} \equiv \red{b}+\blue{d}\left[m\right]
  • a×c≡b×d[m]\red{a}\times\blue{c} \equiv \red{b}\times\blue{d}\left[m\right]
  • Pour tout entier naturel kk : ak≡bk[m]\red{a}^{k} \equiv \red{b}^{k}\left[m\right]
    • Notons uu le nombre de trois chiffres abcabc. Le nombre abcabcabcabc s'écrit N=u×1  000+uN=u\times 1\;000+u.
    D'après la question précédente : N≡u×(−1)+u≡0[7]N\equiv u\times\left(-1\right)+u\equiv 0\left[7\right].
    Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
    abcabcabcabc est divisible par 77

    (et aussi par 1111 et par 1313). Par exemple : 123  123=7×17  589123\;123=7\times 17\;589.

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