Établir et utiliser des critères de divisibilité - Exercice 2

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On reprend l'écriture N=ap×10p+…+a1×10+a0N=a_{p}\times 10^{p}+\ldots+a_{1}\times 10+a_{0} d'un entier naturel NN en base dix.
Question 1

Montrer que, pour tout entier naturel kk, 10k≡(−1)k[11]10^{k}\equiv \left(-1\right)^{k}\left[11\right].

Correction
Soient mm un entier naturel (m≥2)\left(m \geq 2\right), aa, bb, cc et dd des entiers relatifs vérifiant : a≡b[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] et c≡d[m]\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right].
  • a+c≡b+d[m]\red{a}+\blue{c} \equiv \red{b}+\blue{d}\left[m\right]
  • a×c≡b×d[m]\red{a}\times\blue{c} \equiv \red{b}\times\blue{d}\left[m\right]
  • Pour tout entier naturel kk : ak≡bk[m]\red{a}^{k} \equiv \red{b}^{k}\left[m\right]
    • On a 10=11×1−110=11\times 1-1, donc 10≡−1[11]10\equiv -1\left[11\right].
    Par compatibilité avec les puissances :
    10k≡(−1)k[11]10^{k}\equiv \left(-1\right)^{k}\left[11\right]

    Les puissances de 1010 sont donc alternativement congrues à 11 et à −1-1 modulo 1111 :
    Question 2

    En déduire que N≡a0−a1+a2−a3+…[11]N\equiv a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\ldots\left[11\right] et énoncer un critère de divisibilité par 1111.

    Correction
    Soient mm un entier naturel (m≥2)\left(m \geq 2\right), aa, bb, cc et dd des entiers relatifs vérifiant : a≡b[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] et c≡d[m]\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right].
  • a+c≡b+d[m]\red{a}+\blue{c} \equiv \red{b}+\blue{d}\left[m\right]
  • a×c≡b×d[m]\red{a}\times\blue{c} \equiv \red{b}\times\blue{d}\left[m\right]
  • Pour tout entier naturel kk : ak≡bk[m]\red{a}^{k} \equiv \red{b}^{k}\left[m\right]
    • D'après la question 1, ak×10k≡ak×(−1)k[11]a_{k}\times 10^{k}\equiv a_{k}\times\left(-1\right)^{k}\left[11\right] : le chiffre des unités compte avec le signe ++, celui des dizaines avec le signe −-, celui des centaines avec le signe ++, et ainsi de suite.
    En additionnant :
    N≡a0−a1+a2−a3+…[11]N\equiv a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\ldots\left[11\right]

    Criteˋre :\red{\text{Critère :}} un entier est divisible par 1111 si et seulement si la somme alternée de ses chiffres, en partant des unités, est divisible par 1111.
    Question 3

    Le nombre 918  082918\;082 est-il divisible par 1111 ? Déterminer le reste de la division euclidienne de 123  456123\;456 par 1111.

    Correction
    D’une part :\red{\text{D'une part :}} on part du chiffre des unités :
    −22=11×(−2)-22=11\times\left(-2\right) est divisible par 1111, donc
    918  082918\;082 est divisible par 1111

    D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} 6−5+4−3+2−1=36-5+4-3+2-1=3, donc 123  456≡3[11]123\;456\equiv 3\left[11\right]. Comme 0≤3<110\le 3\lt 11, le reste de la division euclidienne de 123  456123\;456 par 1111 est
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