Établir et utiliser des critères de divisibilité - Exercice 1

25 min
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Un entier naturel NN s'écrit en base dix avec les chiffres apa_{p}, ap−1a_{p-1}, …, a1a_{1}, a0a_{0} (de gauche à droite), c'est-à-dire : N=ap×10p+ap−1×10p−1+…+a1×10+a0N=a_{p}\times 10^{p}+a_{p-1}\times 10^{p-1}+\ldots+a_{1}\times 10+a_{0}.
Question 1

Montrer que, pour tout entier naturel kk, 10k≡1[9]10^{k}\equiv 1\left[9\right].

Correction
Soient mm un entier naturel (m≥2)\left(m \geq 2\right), aa, bb, cc et dd des entiers relatifs vérifiant : a≡b[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] et c≡d[m]\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right].
  • a+c≡b+d[m]\red{a}+\blue{c} \equiv \red{b}+\blue{d}\left[m\right]
  • a×c≡b×d[m]\red{a}\times\blue{c} \equiv \red{b}\times\blue{d}\left[m\right]
  • Pour tout entier naturel kk : ak≡bk[m]\red{a}^{k} \equiv \red{b}^{k}\left[m\right]
    • On a 10=9×1+110=9\times 1+1, donc 10≡1[9]10\equiv 1\left[9\right].
    D'après la compatibilité avec les puissances, pour tout entier naturel kk :
    10k≡1k[9]10^{k}\equiv 1^{k}\left[9\right], c'est-à-dire
    10k≡1[9]10^{k}\equiv 1\left[9\right]
    Question 2

    En déduire que NN et la somme de ses chiffres ont le même reste dans la division euclidienne par 99. Énoncer le critère de divisibilité par 99.

    Correction
    Soient mm un entier naturel (m≥2)\left(m \geq 2\right), aa, bb, cc et dd des entiers relatifs vérifiant : a≡b[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] et c≡d[m]\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right].
  • a+c≡b+d[m]\red{a}+\blue{c} \equiv \red{b}+\blue{d}\left[m\right]
  • a×c≡b×d[m]\red{a}\times\blue{c} \equiv \red{b}\times\blue{d}\left[m\right]
  • Pour tout entier naturel kk : ak≡bk[m]\red{a}^{k} \equiv \red{b}^{k}\left[m\right]
    • D'après la question 1, chaque puissance de 1010 est congrue à 11 modulo 99. Par compatibilité avec l'addition et la multiplication :
    N≡ap×1+ap−1×1+…+a1×1+a0[9]N\equiv a_{p}\times 1+a_{p-1}\times 1+\ldots+a_{1}\times 1+a_{0}\left[9\right]
    N≡ap+ap−1+…+a1+a0[9]N\equiv a_{p}+a_{p-1}+\ldots+a_{1}+a_{0}\left[9\right]

    NN et la somme de ses chiffres ont donc le même reste dans la division euclidienne par 99.
    Criteˋre :\red{\text{Critère :}} un entier est divisible par 99 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 99.
    Question 3

    Établir de la même façon le critère de divisibilité par 33.

    Correction
    On a 10=3×3+110=3\times 3+1, donc 10≡1[3]10\equiv 1\left[3\right], puis 10k≡1[3]10^{k}\equiv 1\left[3\right] pour tout entier naturel kk.
    Ainsi : N≡ap+ap−1+…+a1+a0[3]N\equiv a_{p}+a_{p-1}+\ldots+a_{1}+a_{0}\left[3\right].
    Criteˋre :\red{\text{Critère :}} un entier est divisible par 33 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 33.
    Question 4

    Le nombre 123  456  789123\;456\;789 est-il divisible par 99 ? Quel est le reste de la division euclidienne de 7  302  4857\;302\;485 par 99 ?

    Correction
    D’une part :\red{\text{D'une part :}} 1+2+3+4+5+6+7+8+9=451+2+3+4+5+6+7+8+9=45 et 45=9×545=9\times 5. La somme des chiffres est divisible par 99, donc
    123  456  789123\;456\;789 est divisible par 99

    D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} 7+3+0+2+4+8+5=297+3+0+2+4+8+5=29 et 29=9×3+229=9\times 3+2, donc 7  302  485≡29≡2[9]7\;302\;485\equiv 29\equiv 2\left[9\right].
    Comme 0≤2<90\le 2\lt 9, le reste de la division euclidienne de 7  302  4857\;302\;485 par 99 est
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    Question 5

    Déterminer le chiffre xx pour que le nombre de quatre chiffres 52x752x7 soit divisible par 99.

    Correction
    La somme des chiffres vaut 5+2+x+7=14+x5+2+x+7=14+x, avec 0≤x≤90\le x\le 9, donc 14≤14+x≤2314\le 14+x\le 23.
    Le seul multiple de 99 compris entre 1414 et 2323 est 1818. Il faut donc que 14+x=1814+x=18, c'est-à-dire
    x=4x=4

    Veˊrification :\red{\text{Vérification :}} 5  247=9×5835\;247=9\times 583.

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