Divisibilité et récurrence - Exercice 4

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :$$ « $$7^{n}+35$$ est divisible par $$6$$ »
$$\red{\text{Etape d'initialisation :}}$$
$$7^{0} +35=1+35=36$$
Or $$36$$ est bien divisible par $$6$$
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\red{\text{Etape d'hérédité :}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$7^{k} +35$$ est divisible par $$6$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ .
La propriété au rang $${\color{blue}{k+1}}$$ s'écriera : $$7^{{\color{blue}{k+1}}} +35$$
Par hypothèse de récurrence :
$$7^{k}+35$$ est divisible par $$6$$ . Cela signifie qu'il existe un entier $$\pink{A}$$ tel que $$7^{k}+35 =6\pink{A}$$
Partons de l'expression de la propriété au rang $$k+1$$, il vient que :
$$7^{k+1} +35=7^{k} \times {\color{orange}{7}}+35$$
$$7^{k+1} +35=7^{k} \times \left({\color{orange}{6+1}}\right)+35$$
$$7^{k+1} +35=7^{k} \times {\color{orange}{6}}+7^{k} \times {\color{orange}{1}}+35$$
$$7^{k+1} +35=7^{k} \times 6+7^{k} +35$$ . D'après l'hypothèse de récurrence, nous savons supposé vraie que $$7^{k}+35 =6\pink{A}$$.
Ainsi :
$$7^{k+1} +35=7^{k} \times 6+6\pink{A}$$ . Nous pouvons factoriser par $$6$$ l'expression . Ce qui nous donne :
$$7^{k+1} +35=6\left(7^{k} +\pink{A}\right)$$
Nous savons que $$k$$ est un entier et de ce fait l'expression $$7^{k} +\pink{A}$$ est également un entier que l'on note par exemple $${\color{brown}{B}}=7^{k} +\pink{A}$$.
Soit : $$7^{k+1} +35=6\times{\color{brown}{B}}$$
Il en résulte donc que $$7^{k+1} +35$$ est bien divisible par $$6$$.
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\red{\text{Conclusion :}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien :