Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn: «
23n−1 est divisible par
7 »
Etape d’initialisation :23×0−1=20−1=1−1=0Or
0 est bien divisible par
7La propriété
P0 est vraie.
Etape d’heˊreˊditeˊ :On suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire
23k−1 est divisible par
7 et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 .
La propriété au rang
k+1 s'écriera :
23(k+1)−1 autrement dit
23k+3−1Par hypothèse de récurrence :
23k−1 est divisible par
7 . Cela signifie qu'il existe un entier
A tel que
23k−1=7APartons de l'expression de la propriété au rang
k+1, il vient que :
23k+3−1=23k×23−123k+3−1=23k×8−1 23k+3−1=23k×(7+1)−1 23k+3−1=23k×7+23k×1−1 23k+3−1=23k×7+23k−1 . D'après l'hypothèse de récurrence, nous savons supposé vraie que
23k−1=7A.
Ainsi :
23k+3−1=23k×7+7A . Nous pouvons factoriser par
7 l'expression . Ce qui nous donne :
23k+3−1=7(23k+A)Nous savons que
k est un entier et de ce fait l'expression
23k+A est également un entier que l'on note par exemple
B=23k+A.
Soit :
23k+3−1=7×BIl en résulte donc que
23k+3−1 est bien divisible par
7.
Ainsi la propriété
Pk+1 est vraie.
Conclusion :Puisque la propriété
P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n, on a bien :
23n−1 divisible par
7 .