Divisibilité et récurrence - Exercice 2

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :$$ « $$5^{n+2} -3^{2n+2}$$ est divisible par $$4$$ »
$$\red{\text{Etape d'initialisation :}}$$
$$5^{0+2} -3^{2\times0+2}=5^{2} -3^{2}=25-9=16$$
Or $$16$$ est bien divisible par $$4$$
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\red{\text{Etape d'hérédité :}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$5^{k+2} -3^{2k+2}$$ est divisible par $$4$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ .
La propriété au rang $${\color{blue}{k+1}}$$ s'écriera : $$5^{{\color{blue}{k+1}}+2} -3^{2\times\left({\color{blue}{k+1}}\right)+2}$$ autrement dit $$5^{k+3} -3^{2k+4}$$
Par hypothèse de récurrence :
$$5^{k+2} -3^{2k+2}$$ est divisible par $$4$$ . Cela signifie qu'il existe un entier $$\pink{A}$$ tel que $$5^{k+2} -3^{2k+2} =4\pink{A}$$
Partons de l'expression de la propriété au rang $$k+1$$, il vient que :
$$5^{k+3} -3^{2k+4} =5^{k+2} \times 5-3^{2k+2} \times 3^{2}$$
$$5^{k+3} -3^{2k+4} =5^{k+2} \times {\color{orange}{5}}-3^{2k+2} \times {\color{red}{9}}$$
$$5^{k+3} -3^{2k+4} =5^{k+2} \times \left({\color{orange}{4+1}}\right)-3^{2k+2} \times \left({\color{red}{8+1}}\right)$$
$$5^{k+3} -3^{2k+4} =5^{k+2} \times {\color{orange}{4}}+5^{k+2} \times {\color{orange}{1}}-3^{2k+2} \times {\color{red}{8}}-3^{2k+2} \times {\color{red}{1}}$$
$$5^{k+3} -3^{2k+4} =5^{k+2} \times 4+5^{k+2} -3^{2k+2} \times 8-3^{2k+2}$$
$$5^{k+3} -3^{2k+4} =5^{k+2} \times 4-3^{2k+2} \times 8+5^{k+2} -3^{2k+2}$$ . D'après l'hypothèse de récurrence, nous savons supposé vraie que $$5^{k+2} -3^{2k+2} =4\pink{A}$$
Ainsi :
$$5^{k+3} -3^{2k+4} =5^{k+2} \times 4-3^{2k+2} \times 8+4\pink{A}$$ . Nous pouvons factoriser par $$4$$ l'expression . Ce qui nous donne :
$$5^{k+3} -3^{2k+4} =4\times\left(5^{k+2} -3^{2k+2} \times 2+\pink{A}\right)$$
Nous savons que $$k$$ est un entier et de ce fait l'expression $$5^{k+2} -3^{2k+2} \times 2+\pink{A}$$ est également un entier que l'on note par exemple $${\color{brown}{B}}=5^{k+2} -3^{2k+2} \times 2+\pink{A}$$.
Soit : $$5^{k+3} -3^{2k+4} =4\times{\color{brown}{B}}$$
Il en résulte donc que $$5^{k+3} -3^{2k+4}$$ est bien divisible par $$4$$.
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\red{\text{Conclusion :}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien :